Question

Из точки, взятой вне окружности, проведены к ней две касательные. Доказать, что длины этих касательных равны между собой (под длиной касательной понимают отрезок её от данной точки вне окружности до точки касания). помогите решить. Заранее спасибо..

Answer 1

Пусть это будут касательные АВ и АС, а центр окружности - О. Соответственно точки В и С - точки касания, а поэтому [ОС] перпендикулярен [АС], [ОВ] перпендикулярен [АВ]. Тогда рассмотрим ∆и АОС и АОВ. Они прямоугольные и у них равны катеты ОС и ОВ как радиусы одной и той же окружности. К тому же, у них общая гипотенуза. Получаем, что ∆ АОС = ∆ АОВ по катету и гипотенуза, а значит, остальные элементы этих ∆ов тоже равны, то есть |АВ| = |АС|, а это отрезки касательных, проведенных к данной окружности, ч.т.д.