Если раскрыть скобки, то получим квадратное уравнение с параметром а. Но делать мы этого не будем. Просто вспомним, что решение квадратного уравнения это
![$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}](https://tex.z-dn.net/?f=%24x_%7B1%2C2%7D%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%20%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D)
То есть если один корень будет рациональным, то и второй тоже. Ситуации, что один корень будет иррациональным, а второй нет - невозможна. Поэтому задача становится решить исходное уравнение в целых числах и определить то самое а по условию.
![(x-a)(x+8)=-5](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-a%29%28x%2B8%29%3D-5)
Произведение двух чисел равно 5. Это будет тогда, когда одно из них равно 5 по модулю, а второе 1 по модулю (все это потому что 5 - простое число и его делители это 1 и 5 со знаками). При этом у них должны быть разные знаки. То есть получаем 4 случая => 4 аналогичные системы (все они в совокупности), из которых мы и найдем а.
![$1) \left \{ {{x-a=1} \atop {x+8=-5}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a=-14} \atop {x=-13}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%241%29%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx-a%3D1%7D%20%5Catop%20%7Bx%2B8%3D-5%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Ba%3D-14%7D%20%5Catop%20%7Bx%3D-13%7D%7D%20%5Cright.)
![$2)\left \{ {{x-a=-1} \atop {x+8=5}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a=-2} \atop {x=-3}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%242%29%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx-a%3D-1%7D%20%5Catop%20%7Bx%2B8%3D5%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Ba%3D-2%7D%20%5Catop%20%7Bx%3D-3%7D%7D%20%5Cright.)
![$3)\left \{ {{x-a=5} \atop {x+8=-1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a=-14} \atop {x=-9}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%243%29%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx-a%3D5%7D%20%5Catop%20%7Bx%2B8%3D-1%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Ba%3D-14%7D%20%5Catop%20%7Bx%3D-9%7D%7D%20%5Cright.)
![$4)\left \{ {{x-a=-5} \atop {x+8=1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a=-2} \atop {x=-7}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%244%29%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx-a%3D-5%7D%20%5Catop%20%7Bx%2B8%3D1%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Ba%3D-2%7D%20%5Catop%20%7Bx%3D-7%7D%7D%20%5Cright.)
Здесь, кстати, ничего удивительного. У уравнения два корня, просто для одного корня, например, первая скобка равна 1, а вторая равна -5. А для второго корня первая скобка равна 5, а вторая -1. И это все при одном значении параметра.
В итоге у нас есть 2 подходящих значения параметра
a=-14, a=-2. Выбираем наименьшее из них, это a=-14.
Ответ: -14.