![\int a^x(1+\frac{a^{-x}}{\sqrt{x^3}})dx=\int a^x dx \;+ \int \sqrt{x^{-3}}dx=\\=\frac{a^x}{\ln a}-2\sqrt{x^{-1}}+C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint+a%5Ex%281%2B%5Cfrac%7Ba%5E%7B-x%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E3%7D%7D%29dx%3D%5Cint+a%5Ex+dx+%5C%3B%2B+%5Cint+%5Csqrt%7Bx%5E%7B-3%7D%7Ddx%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7Ba%5Ex%7D%7B%5Cln+a%7D-2%5Csqrt%7Bx%5E%7B-1%7D%7D%2BC)
Теперь детальный разбор решения:
Интеграл суммы можно разбить на сумму интегралов, я считаю, что очевидно;
- это свойство также очевидно;
- это преобразование должно быть понятно;
Первообразная от
равна ![\frac{a^x}{\ln a}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Ba%5Ex%7D%7B%5Cln+a%7D)
Первообразная от
считается легко, как и первообразная любой степенной функции.
Остается добавить константу
, поскольку интеграл является неопределенным.
Post scriptum. Я прописываю степень "-1" только из-за неудобства и неказистости дробей в LaTeX, рекомендую прописывать отрицательные степени как дроби.
Полагаю, необходимо доказать тождество
![\mathtt{(1,5x-2y)^2+(2x+1,5y)^2=}\\\mathtt{=2,25x^2-6xy+4y^2+4x^2+6xy+2,25y^2=6,25x^2+6,25y^2=}\\\mathtt{6,25(x^2+y^2)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathtt%7B%281%2C5x-2y%29%5E2%2B%282x%2B1%2C5y%29%5E2%3D%7D%5C%5C%5Cmathtt%7B%3D2%2C25x%5E2-6xy%2B4y%5E2%2B4x%5E2%2B6xy%2B2%2C25y%5E2%3D6%2C25x%5E2%2B6%2C25y%5E2%3D%7D%5C%5C%5Cmathtt%7B6%2C25%28x%5E2%2By%5E2%29%7D)
чтд
Пусть y^2 = t,
тогда 2t^2-3t+5=0
а дальше через дискрименант
0,4 × 0,4 = 0, 16
Ответ - 0, 16