Question

Помогите решить интеграл. И расписать подробнее

Answer 1

$\int a^x(1+\frac{a^{-x}}{\sqrt{x^3}})dx=\int a^x dx \;+ \int \sqrt{x^{-3}}dx=\\=\frac{a^x}{\ln a}-2\sqrt{x^{-1}}+C$

Теперь детальный разбор решения:

Интеграл суммы можно разбить на сумму интегралов, я считаю, что очевидно;

$a^x\times a^{-x}=1$ - это свойство также очевидно;

$\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\sqrt{x^{-3}}=x^{-1.5}$ - это преобразование должно быть понятно;

Первообразная от $a^x$ равна $\frac{a^x}{\ln a}$

Первообразная от $x^{-1.5}$ считается легко, как и первообразная любой степенной функции.

Остается добавить константу $C$, поскольку интеграл является неопределенным.

Post scriptum. Я прописываю степень "-1" только из-за неудобства и неказистости дробей в LaTeX, рекомендую прописывать отрицательные степени как дроби.