Сторона АО=2корень(7)
Сторона ВО=2
По теореме Пифагора, АВ=корень(4+38)=корень(32)
Предположим, что ОС=х, а АС=у
Тогда, используя теорему Пифагора, составим уравнения для треугольников АВС и АОС.
АВС:
АВ^2+АС^2=ВС^2
32+у^2=(x+2)^2
y^2+32=x^2+4x+4
y^2-x^2-4x+28=0 (1)
AOC:
AO^2+OC^2=AC^2
28+x^2=y^2 (2)
Выразив из (2) y^2 подставим его в (1):
28+x^2-x^2-4x+28=0
-4x=-56
x=14
Ответ: Е
Я пишу решение "вслепую", так что проверяйте потом.
Пусть O1 - центр окружности радиуса 4 (на ней пусть лежит точка A); O2 - центр второй окружности.
Тут кругом прямые углы. Логичнее начать с пункта в)
Отрезки O1A и O2B оба перпендикулярны AB => O1A II O2B;
=> ∠AO1P + ∠BO2P = 180°; Это центральные углы дуг AP и BP;
=> ∠PAB + ∠PBA = 90°; => ∠APB = 90°;
б) O1K - биссектриса ∠AKP; O2K = биссектриса ∠BKP;
Половины этих углов в сумме составляют ∠O1KO2; то есть
∠O1KO2 = 90°;
PK - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике O1KO2;
и она делит гипотенузу на отрезки 4 и 11; поэтому PK^2 = 4*11 = 44;
PK = 2√11
а) AB найти проще всего. Из O1 надо провести прямую перпендикулярно O2B (и параллельно AB); получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 + 11 =15; и катетом 11 - 4 = 7; откуда AB^2 = 15^2 - 7^2 = 11*16;
AB = 4√11;
PK = AB/2; что совсем не удивительно (я тут нарочно схитрил, чтобы подольше понабирать решение.)
Дело в том, что PK - медиана в прямоугольном треугольнике APB, то есть PK = AB/2; сразу без всяких вычислений.
Но зато ответ получен двумя разными способами. Можно выбирать, что считать и каким способом, PK или AB...
Угол APH=углу MAP Поскольку угол HAP= угол HPA то треугольник AHP равнобедренный .Значит угол MHA =угол NHP.То угол AMP=уголNHP .Значит треугольник AMH=треугольнику NHP.
