Медианы треугольника пересекаются в точке О, которая делит каждую медиану в отношении 2:1 считая от вершины (свойство).
AO составляет 2/3 от 3, ОА1 составлят 1/3 от 3.
АО = 2. ОА1 = 1
СО составляет 2/3 от 12, ОС1 составляет 1/3 от 12
СО = 8. OC = 4
Найдем площадь треугольника AOC по формуле Герона:
S =
![\sqrt{p*(p - a)* (p - b)* (p - c) }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7Bp%2A%28p%20-%20a%29%2A%20%28p%20-%20b%29%2A%20%28p%20-%20c%29%20%7D%20)
p = (a + b + c) / 2
p(AOC) = (AO + CO + AC) / 2
p(AOC) = (2 + 8 + 7) / 2 = 17 / 2
S(AOC) =
![\sqrt{ \frac{17}{2} * ( \frac{17}{2} - 2) * ( \frac{17}{2} - 8) * ( \frac{17}{2} - 7) }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B17%7D%7B2%7D%20%20%2A%20%28%20%5Cfrac%7B17%7D%7B2%7D%20-%202%29%20%2A%20%28%20%5Cfrac%7B17%7D%7B2%7D%20-%208%29%20%2A%20%28%20%5Cfrac%7B17%7D%7B2%7D%20-%207%29%20%20%20%7D%20)
=
![\sqrt{ \frac{17}{2} * \frac{17 - 4}{2} * \frac{17 - 16}{2} * \frac{17 - 14}{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B17%7D%7B2%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B17%20-%204%7D%7B2%7D%20%2A%20%20%5Cfrac%7B17%20-%2016%7D%7B2%7D%20%2A%20%20%5Cfrac%7B17%20-%2014%7D%7B2%7D%20%20%7D%20)
=
![\sqrt{ \frac{17 * 13 * 1 * 3}{2*2*2*2} }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B17%20%2A%2013%20%2A%201%20%2A%203%7D%7B2%2A2%2A2%2A2%7D%20%7D%20)
=
![\sqrt{ \frac{663}{16} }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B663%7D%7B16%7D%20%7D%20)
(кв. ед)
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников (свойство) ⇒ S(ABC) = 3 * S(AOC)
S(ABC) =
![3 \sqrt{ \frac{663}{16} }](https://tex.z-dn.net/?f=3%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B663%7D%7B16%7D%20%7D%20)
=
![\frac{3}{4} \sqrt{663}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%20%5Csqrt%7B663%7D%20)
(кв. ед)
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Площадь треугольника AOB1 равна половине площади треугольника AOC.
S(AOB1) = S(AOC) / 2
S(AOB1) =
![\frac{1}{2} * \sqrt{ \frac{663}{16} } = \sqrt{ \frac{663}{16 * 4} } = \sqrt{ \frac{663}{64} }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2A%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B663%7D%7B16%7D%20%7D%20%20%3D%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B663%7D%7B16%20%2A%204%7D%20%7D%20%3D%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B663%7D%7B64%7D%20%7D%20)
(кв. ед)
p(AOB1) = (AO + OB1 + AB1) / 2
AB1 = AC / 2
AB1 = 7/2
OB1 = x
p(AOB1) = (2 + x + 7/2) / 2
p (AOB1) =
![(\frac{4 + 2x + 7}{2} ) / 2](https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%5Cfrac%7B4%20%2B%202x%20%2B%207%7D%7B2%7D%20%29%20%2F%202)
=
![\frac{11 + 2x}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B11%20%2B%202x%7D%7B4%7D%20)
S(AOB1) =
![\sqrt{ \frac{11+2x}{4} * \frac{11+2x - 8}{4} * \frac{11 +2x - 4x}{4} * \frac{11+2x - 14}{4} }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B11%2B2x%7D%7B4%7D%20%2A%20%20%5Cfrac%7B11%2B2x%20-%208%7D%7B4%7D%20%2A%20%20%5Cfrac%7B11%20%2B2x%20-%204x%7D%7B4%7D%20%2A%20%20%5Cfrac%7B11%2B2x%20-%2014%7D%7B4%7D%20%20%7D%20)
=
![\sqrt{ \frac{663}{64} }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B663%7D%7B64%7D%20%7D%20)
![\sqrt{ \frac{(11+2x) * (2x+3) * (11-2x) * (2x-3)}{4*4*4*4} } = \sqrt{ \frac{663}{64} }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%2811%2B2x%29%20%2A%20%282x%2B3%29%20%2A%20%2811-2x%29%20%2A%20%282x-3%29%7D%7B4%2A4%2A4%2A4%7D%20%7D%20%3D%20%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B663%7D%7B64%7D%20%7D%20)
Возводим обе части уравнения в квадрат
![\frac{(11+2x)*(11-2x)*(2x+3)*(2x-3)}{256}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%2811%2B2x%29%2A%2811-2x%29%2A%282x%2B3%29%2A%282x-3%29%7D%7B256%7D%20)
=
![\frac{663}{64}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B663%7D%7B64%7D%20)
Умножаем обе части уравнения на 256
(121 - 4x²)(4x² - 9) = 2652
484x² - 16x⁴ - 1089 + 36x² - 2652 = 0
-16x⁴ + 520x² - 3741 = 0
x² = t
ОДЗ t > 0, т.к. результат возведения в четную степень не может быть отрицательным и длина не может быть равной нулю
-16t² + 520t - 3741 = 0
16t² - 520t + 3741 = 0
D = (-520)² - 4 * 16 * 3741 = 270400 - 239424 = 30976
√D = 176
t1 = (520 + 176) / 32 = 696/32 = 21,75
t2 = (520 - 176) / 32 = 344/32 = 10,75
Оба корня отвечают ОДЗ
X1 = √21,75
X2 = √10,75
BB1 = OB1 * 3
1) OB1 = √21,75, тогда BB1 = 3√21,75
2) OB1 = √10,75, тогда BB1 = 3√10,75
При подстановке обоих вариантов в формулу Герона для треугольника AOB1 получается одинаковая площадь
(Рисунок схематический)