Множество четыпехзначных чисел можно рассматривать как арифметичесую прогрессию, где a₁=1000,
![a_{9000}=9999](https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B9000%7D%3D9999)
надо найти
![S_{9000}= \frac{a_1+a_{9000}}{2}*9000=\frac{1000+9999}{2}*9000= 49495500](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B9000%7D%3D+%5Cfrac%7Ba_1%2Ba_%7B9000%7D%7D%7B2%7D%2A9000%3D%5Cfrac%7B1000%2B9999%7D%7B2%7D%2A9000%3D+49495500)
Надо сначала упростить тангенс в знаменателе по известной формуле тангенса разности
![\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctan%28%5Calpha-%5Cbeta%29%3D%5Cfrac%7B%5Ctan%5Calpha-%5Ctan%5Cbeta%7D%7B1%2B%5Ctan%5Calpha%5Ctan%5Cbeta%7D)
![\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\tan\frac{\pi}{4}-\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{x}{2}}=\frac{1-\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{x}{2}}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctan%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B%5Ctan%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D-%5Ctan%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%7B1%2B%5Ctan%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%5Ctan%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1-%5Ctan%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%7B1%2B%5Ctan%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%3D)
Воспользуемся известной формулой
![\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctan%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1-%5Ccos%5Calpha%7D%7B%5Csin%5Calpha%7D)
и снова преобразуем предыдущее выражение
![\frac{1-\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{x}{2}}=\frac{1-\frac{1-\cos x}{\sin x}}{1+\frac{1-\cos x}{\sin x}}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1-%5Ctan%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%7B1%2B%5Ctan%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1-%5Cfrac%7B1-%5Ccos+x%7D%7B%5Csin+x%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1-%5Ccos+x%7D%7B%5Csin+x%7D%7D%3D)
Умножим и числитель и знаменатель выражения на sin x.
![\frac{1-\frac{1-\cos x}{\sin x}}{1+\frac{1-\cos x}{\sin x}}=\frac{\sin x-1+\cos x}{\sin x+1-\cos x}\quad(*)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1-%5Cfrac%7B1-%5Ccos+x%7D%7B%5Csin+x%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1-%5Ccos+x%7D%7B%5Csin+x%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin+x-1%2B%5Ccos+x%7D%7B%5Csin+x%2B1-%5Ccos+x%7D%5Cquad%28%2A%29)
Теперь запишем исходное выражение с учетом наработанного, причем перенесем знаменатель в (*) в числитель выражения
![\frac{\sin x}{\frac{\sin x-1+\cos x}{\sin x+1-\cos x}*(1+\sin x)}=\frac{\sin x*(\sin x+1-\cos x)}{(\sin x-1+\cos x)*(1+\sin x)}=\quad(***)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7B%5Cfrac%7B%5Csin+x-1%2B%5Ccos+x%7D%7B%5Csin+x%2B1-%5Ccos+x%7D%2A%281%2B%5Csin+x%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin+x%2A%28%5Csin+x%2B1-%5Ccos+x%29%7D%7B%28%5Csin+x-1%2B%5Ccos+x%29%2A%281%2B%5Csin+x%29%7D%3D%5Cquad%28%2A%2A%2A%29)
Теперь отдельно займемся знаменателем этой дроби. Раскроем скобки.
![(\sin x-1+\cos x)*(1+\sin x)=](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csin+x-1%2B%5Ccos+x%29%2A%281%2B%5Csin+x%29%3D)
![\sin x -1+\cos x+\sin^2 x-\sin x+\sin x\cos x=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin+x+-1%2B%5Ccos+x%2B%5Csin%5E2+x-%5Csin+x%2B%5Csin+x%5Ccos+x%3D)
Теперь можно сократить на sin x, так как эти слагаемые противоположны по знаку
![=\sin x -1+\cos x+\sin^2 x-\sin x+\sin x\cos x=](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Csin+x+-1%2B%5Ccos+x%2B%5Csin%5E2+x-%5Csin+x%2B%5Csin+x%5Ccos+x%3D)
![=-1+\cos x+\sin^2 x+\sin x\cos x\quad(**)](https://tex.z-dn.net/?f=%3D-1%2B%5Ccos+x%2B%5Csin%5E2+x%2B%5Csin+x%5Ccos+x%5Cquad%28%2A%2A%29)
Заметим, что
![-1+\sin^2 x=-(\cos^2 x+\sin^2 x)+\sin^2 x=-\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=](https://tex.z-dn.net/?f=-1%2B%5Csin%5E2+x%3D-%28%5Ccos%5E2+x%2B%5Csin%5E2+x%29%2B%5Csin%5E2+x%3D-%5Ccos%5E2+x-%5Csin%5E2+x%2B%5Csin%5E2+x%3D)
![=-\cos^2 x](https://tex.z-dn.net/?f=%3D-%5Ccos%5E2+x)
Учитывая это, (**) снова упрощается в
![-1+\cos x+\sin^2 x+\sin x\cos x=-\cos^2 x+\cos x+\sin x\cos x=](https://tex.z-dn.net/?f=-1%2B%5Ccos+x%2B%5Csin%5E2+x%2B%5Csin+x%5Ccos+x%3D-%5Ccos%5E2+x%2B%5Ccos+x%2B%5Csin+x%5Ccos+x%3D)
Теперь вынесем за скобки cos x
Это и есть упрощенный знаменатель. Теперь подставим в исходную дробь (***)
![\frac{\sin x*(\sin x+1-\cos x)}{(\sin x+1-\cos x)*(1+\sin x)}=\frac{\sin x*(\sin x+1-\cos x)}{\cos x(-\cos x+1+\sin x)}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Csin+x%2A%28%5Csin+x%2B1-%5Ccos+x%29%7D%7B%28%5Csin+x%2B1-%5Ccos+x%29%2A%281%2B%5Csin+x%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin+x%2A%28%5Csin+x%2B1-%5Ccos+x%29%7D%7B%5Ccos+x%28-%5Ccos+x%2B1%2B%5Csin+x%29%7D%3D)
Теперь числитель и знаменатель сокращаем на множитель
![(\sin x+1-\cos x)](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csin+x%2B1-%5Ccos+x%29)
, получаем
![=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7B%5Ccos+x%7D%3D%5Ctan+x)
Ответ:
![\tan x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctan+x)
1)2√18=2*3√2=6√2
2)2√75=2*5√3=10√3
3)6√3*3√3=18*3=54
4)3√2*2√2=6*2=12
-4a+8b=c
0x-6b=c
4a-14b=0 a=7/2b
b=-c/6
c- кратно 12. с=12k b=-2k a=-7k
k=1 c=12 b=-2 a=-7
-7x-2y=12 одно из таких уравнений.
Задача 4
х-скорость лодки
20/(x+3)+30/(x-3)=20/3
2/(x+3)+3/(x-3)=2/3
(2x-6+3x+9)/(x^2-9)=2/3
3(5x+3)=2x^2-18
15x+9=2x^2-18
2x^2-15x-27=0
27=3*3*3
будем искать корни среди делителей 27.
3 или 9 подстановкой убеждаемся что корень х=9 удовлетворяет.
скорость лодки 9 км/ч