Question

В прямоугольном треугольнике АВС с катетами ВС=8, АС=10 через центр О описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная его гипотенузе и пересекающая больший катет в точке К. Найдите длину отрезка АК.

Answer 1

По теореме Пифагора $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$

Т.к. центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, то $AO=\sqrt{41}$

ΔABC ≈ ΔAOK (по трем углам) ⇒

$\frac{AO}{AC}=\frac{AK}{AB}\\AK=\frac{AO*AB}{AC}=\frac{\sqrt{41}*2*\sqrt{41}}{10}=\frac{82}{10}=8.2$