Question

А) У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 12 см кут між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини прямого кута, дорівнює 15*. Знайдіть катети трикутника.
б) Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу у відношенні 3:4. Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо його периметр дорівнює 84 см.

Answer 1

1) Дан треугольник АВС, угол С - прямой. СM- биссектриса, СК- высота(см рисунок)
$\angle ACK=\angle KCB= 45 ^{o} ,\angle KCM=15 ^{o}$
значит
$\angle ACK=45 ^{o} -15 ^{o}=30 ^{o}$
Из прямоугольного треугольника АСК
$\angle CAK=60 ^{o}, \angle ABC=30 ^{o}$
Значит АС=6 см, СВ=6·√3

2) Дан треугольник АВС, угол С - прямой. СM- биссектриса ( см тот же рисунок)
 По условию АМ:МВ=3:4
Свойство биссектрисы угла треугольника: биссектриса угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
АС:ВС=АМ:МВ=3:4
 Пусть АС=3х, тогда ВС=4х.
 По теореме Пифагора АВ=5х=√(3х)²+(4х)²
Периметр Р=3х+4х+5х=12х, а по условию задачи 84 см.
12х=84,
х=7
Тогда стороны треугольника АС=21 см, ВС=28 см, АВ=35 см.