1)МР=КМ-КР=21-15=6.
Средняя линия - это полусумма оснований, тогда сумма оснований - это средняя линия ×2. LМ+KN=28.
Смотри рисунок.
ΔLPM подобен ΔКРN по первому признаку (угол LРМ=углу КРN как вертикальные,
углы MLN=LNK как внутренние накрест лежащие при параллельных LM и KL и секущей LN).
Отсюда вытекает следующее:
![\frac{KP}{PM} = \frac{KN}{LM}; \frac{15}{6} = \frac{KN}{LM};15LM=6KN](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BKP%7D%7BPM%7D+%3D+%5Cfrac%7BKN%7D%7BLM%7D%3B+%5Cfrac%7B15%7D%7B6%7D+%3D+%5Cfrac%7BKN%7D%7BLM%7D%3B15LM%3D6KN++)
KN=28-LM
![15LM=6(28-LM);21LM=168;LM=8](https://tex.z-dn.net/?f=15LM%3D6%2828-LM%29%3B21LM%3D168%3BLM%3D8)
Тогда KN=28-8=20.
Ответ: 8, 20.
3) Смотри второй рисунок. ОН - расстояние до ВС, являющееся перпендикуляром к ней.
АВС - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный ВОС ⇒ ВОС=2×60=120.
Рассмотрим ΔВОС - равнобедренный (ВО=ОС=R).
Угол ОВС=углу ОСВ=(180-120)/2=30
Рассмотрим прямоугольный ΔОНВ.
Катет ОН противолежит углу в 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы ОВ ( половине радиусу).
ОН=8/2=4.
Ответ: 4.
4) Третий рисунок.
Радиус к касательной перпендикулярен ей, и угол ОАС=90 градусов.
Угол ОАС=угол ВАС+угол ВАО, откуда ВАО=90-35=55.
Треугольник АОВ - равнобедренный (ВО=АО=R), а значит угол АВО=углу ВАО.
Искомый угол АОВ=180-55-55=70.
Ответ: 70.
5) Сюда, оказывается, можно добавить только три рисунка, так что построй сама, он легкий.
Радиус к касательной перпендикулярен ей, и угол АВО=90 градусов.
Из прямоугольного тр-ка АВО найдем ВО (который является радиусом) по теореме Пифагора.
![BO= \sqrt{ AO^{2}- AB^{2} }= \sqrt{ (5 \sqrt{2}) ^{2}- 5^{2} }= \sqrt{50-25}= \sqrt{25} =5](https://tex.z-dn.net/?f=BO%3D+%5Csqrt%7B+AO%5E%7B2%7D-+AB%5E%7B2%7D++%7D%3D+%5Csqrt%7B+%285+%5Csqrt%7B2%7D%29+%5E%7B2%7D-+5%5E%7B2%7D++%7D%3D+%5Csqrt%7B50-25%7D%3D+%5Csqrt%7B25%7D+%3D5+++)
Ответ: 5.
6) В третьем вложении.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ДЕО.
Длина окружности 2пиR=2×3,14×6=37,68.
Из тр-ка ДЕО найдем гипотенузу ДО.
ДО²=ЕД²+ЕО²=64+36=100, ДО=10.
sinЕДО=6/10=0,6.
Рассмотрим прямоугольный тр-ик ЕДН.
sin ЕДН=ЕН/ЕД=0,6, откуда ЕН=0,6×8=4,8.
ЕF=2×EH=2×4,8=9,6
Все в том же тр-ке найдем ДН по теореме Пиф.
ДН²=ЕД²-ЕН²=64-23,04=40,96; ДН=6,4.
Площадь - это половина произведения высоты на основание, т. е.
![\frac{1}{2}*DH*EF= \frac{1}{2} *6,4*9,6=30,72](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2ADH%2AEF%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2A6%2C4%2A9%2C6%3D30%2C72)
Ответ: 37,68; 30,72.