Question

Решить дифференциальное уравнение y' - (3y/x) = x³ + x

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.
Решим методом Лагранжа.
Суть метода Лагранжа заключается в следующем:
1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'- \frac{3y}{x} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.
$\frac{dy}{y} = \frac{3dx}{x}$

Интегрируя обе части уравнения, получим
$\ln |y|=3\ln |x|+\ln C\\ =C|x|^3$

2) Осталось теперь решить неоднородное уравнение.
Примем константу C за функцию C(x), т.е. $y=C(x)|x|^3$. Найдем для нее производную

$y'=C'(x)\times |x|^3+3C(x)\times x^2$

Подставив в исходное уравнение, получим
$C'(x)\times |x|^3+3C(x)\times x^2- \frac{3C(x)|x|^3}{x} =x^3+x\\ \\ C'(x)\times |x|^3+3C(x)\times x^2-3C(x)\times x^2=x^3+x\\ \\ C'(x)\times x^2=x^2+1\\ \\ C'(x)= \frac{x^2+1}{x^2} =1+ \frac{1}{x^2}$

Интегрируя обе части, получим
$C(x)=x- \frac{1}{x} +C$

Таким образом, мы получим общее решение неоднородного уравнения
$y=(x-\frac{1}{x} +C)\times |x|^3=x^4-x^2+C|x|^3$