Question

Помогите, пожалуйста, решить! Даю много баллов$\frac{4}{7} x^{ \frac{7}{4} } + \frac{8}{5} x^{ \frac{5}{4} } - 12x$
1. Решите уравнение f'(x)=0, если f(x)=$\frac{4}{7} x^{ \frac{7}{4} } + \frac{8}{5} x^{ \frac{5}{4} } - 12x$

2. Дана функция
а) Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0;5]

3. Составьте уравнение касательной к графику функции, которая параллельна прямой
(На фотографии все задания полностью с уравнениями, это задания №3, далее 1 и 2)

Answer 1

3.
$f'(x)= \frac{4}{7}* \frac{7}{4}x^{ \frac{7}{4}- \frac{4}{4} }+ \frac{8}{5}* \frac{5}{4}x^{ \frac{5}{4}- \frac{4}{4} }-12=x^{ \frac{3}{4} }+2x^{ \frac{1}{4} }-12$
$x^{ \frac{3}{4} }+2x-12=0 \\ (x^{ \frac{1}{4} })^3+2x^{ \frac{1}{4} }-12=0 \\ t=x^{ \frac{1}{4} } \\ t^3+2t-12=0$

При t=2
2³+2*2-12=8+4-12=0
t=2 - это один из корней уравнения.
Делим t³+2t-12  на  t-2,  получаем 
(t³ + 2t-12) : (t-2) = t²+2t+6

(t-2)(t²+2t+6)=0
t-2=0                t²+2t+6=0
t=2                   D=2² -4*6=4-24=-20<0
                        нет действительных корней

$x^{ \frac{1}{4} }=2 \\ (x^{ \frac{1}{4} })^4=2^4 \\ x=16$
Ответ: 16.

1.
$y=4(3x+1)^{ \frac{3}{4} }-4.5x \\ y'=4* \frac{3}{4} (3x+1)^{ \frac{3}{4}- \frac{4}{4} }*3-4.5=9(3x+1)^{- \frac{1}{4} }-4.5 \\ \\ 9(3x+1)^{- \frac{1}{4} }-4.5=0 \\ (3x+1)^{- \frac{1}{4} }-0.5=0 \\ (3x+1)^{- \frac{1}{4} }= \frac{1}{2} \\ ((3x+1)^{- \frac{1}{4} })^{-4}=( \frac{1}{2} )^{-4} \\ \\ 3x+1=2^4 \\ 3x=16-1 \\ 3x=15 \\ x=5$
    +                -
---------- 5 --------------
x=5 - точка максимума

При x∈(-∞; 5]  функция возрастает.
При x∈[5; +∞) функция убывает.

б)  При х=0
     $y=4(3*0+1)^{ \frac{3}{4} }-4.5*0=4*1^{ \frac{3}{4} }=4$
     y=4 - наименьшее значение функции
 
     При х=5
     $y=4(3*5+1)^{ \frac{3}{4} }-4.5*5=4*16^{ \frac{3}{4} }-22.5=4*(2^4)^{ \frac{3}{4} }-22.5= \\ =4*8-22.5=32-22.5=9.5$
     у=9,5 - наибольшее значение функции

2.
$y=2.5x^{ \frac{6}{5} }-2x \\ y'=2.5* \frac{6}{5}x^{ \frac{6}{5}- \frac{5}{5} }-2=3x^{ \frac{1}{5} }-2$

y=4x+1
k=4

y'=k

$3x^{ \frac{1}{5} }-2=4 \\ 3x^{ \frac{1}{5} }=4+2 \\ 3x^{ \frac{1}{5} }=6 \\ x^{ \frac{1}{5} }=2 \\ x=2^5=32$

x=x₀=2⁵=32

$y(x_{0})=2.5*(2^5)^{ \frac{6}{5} }-2*32=2.5*2^6-64=2.5*64-64=96$

y=96+4(x-32)=96+4x-128=4x-32
y=4x-32 - уравнение касательной.

Ответ: у=4х-32.