![\frac{3 {n}^{2} + 7n - 11 }{n + 2} = \frac{(n + 2) \times (3n + 1) - 14}{n + 2} = \\ = 3n + 1 - \frac{14}{n + 2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B3+%7Bn%7D%5E%7B2%7D+%2B+7n+-+11+%7D%7Bn+%2B+2%7D++%3D++%5Cfrac%7B%28n+%2B+2%29+%5Ctimes+%283n+%2B+1%29+-+14%7D%7Bn+%2B+2%7D++%3D++%5C%5C++%3D+3n+%2B+1+-++%5Cfrac%7B14%7D%7Bn+%2B+2%7D+)
Это выражение является целым, когда 14 делится на n+2 (это число также натурально).
14 делится на натуральные: 1; 2; 7; 14.
n+2=1; n=-1 не натуральное, не подходит.
n+2=2; n=0 не натуральное, не подходит.
n+2=7; n=5 натуральное, проверяем его:
![3 \times 5 + 1 - \frac{14}{5 + 2} = 15 + 1 - \frac{14}{7} = 16 - 2 = 14](https://tex.z-dn.net/?f=3+%5Ctimes+5+%2B+1+-++%5Cfrac%7B14%7D%7B5+%2B+2%7D++%3D+15+%2B+1+-++%5Cfrac%7B14%7D%7B7%7D++%3D+16+-+2+%3D+14)
натурально, значит n=5 подходит.
n+2=14; n=12 натуральное, проверяем его:
![3 \times 12 + 1 - \frac{14}{12 + 2} = 36 + 1 - \frac{14}{14} = 37 - 1 = 36](https://tex.z-dn.net/?f=3+%5Ctimes+12+%2B+1+-++%5Cfrac%7B14%7D%7B12+%2B+2%7D++%3D+36+%2B+1+-++%5Cfrac%7B14%7D%7B14%7D++%3D+37+-+1+%3D+36)
натурально, значит n= 12 подходит.
Ответ: при n=5 и n=12.