Question

Площадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна $\frac{392 \sqrt{3} }{3}$ Один из ост­рых углов равен 60°. Най­ди­те длину катета, ле­жа­ще­го на­про­тив этого угла.

Answer 1

ΔABC - прямоугольный.
угол B=60° => уголC=90-60=30°
площадь прямоугольного треугольника:
$\frac{1}{2} *AC*BC= \frac{392\sqrt{3}}{3} \\AC*BC= \frac{2*392*\sqrt{3}}{3}$
также:
$sin(B)= \frac{AC}{AB}$
$sin(B)=sin(60^{\circ})= \frac{\sqrt{3}}{2}$
в прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы:
$BC= \frac{1}{2} AB$
AB=2BC
теперь составим систему:
$\left \{ {{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{2BC} } \atop {AC*BC= \frac{2*392*\sqrt{3}}{3}}} \right. \\2AC=2\sqrt{3}*BC \\AC=\sqrt{3}*BC \\\sqrt{3}*BC*BC=\frac{2*392*\sqrt{3}}{3} \\BC^2= \frac{2*392}{3} \\BC=\sqrt{ \frac{2*392}{3} }= \frac{28\sqrt{3}}{3}$
$AC=\sqrt{3}*\frac{28\sqrt{3}}{3}= \frac{3*28}{3} =28$
Ответ: 28