Question

В ромб вписана окружность радиуса r. Найдите площадь ромба,если его большая диагональ равна 4r

Answer 1

Для нахождения высоты: h = 2r

Значит высота будет 2r

Определим углы ромба, чтобы найти сторону

$sin \alpha = \frac{h}{d} = \frac{2r}{4r} = \frac{1}{2} \\ \alpha =30$

Так как 30 градусов это половина значит угло ромба будет 2*30=60градусов

Определяем сторону ромба

По т. Пифагора

$a= \frac{h}{sin60} = \frac{2r}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{4r}{ \sqrt{3} } = \frac{4 \sqrt{3}r }{3}$

Определяем площадь ромба

$S = a*h = \frac{4 \sqrt{3} r}{3} *2r= \frac{8 \sqrt{3}r^2 }{3}$

Ответ: $\frac{8 \sqrt{3}r^2 }{3}$.

Answer 2

Формула радиуса вписанной окружности в ромб r=D*d/4a, 
 r=4r*d/4a, d/a=1. d=a
 где a - сторона ромба, D, d - диагонали.
Сторона ромба по т. Пифогора равна а²=D²/4+d²/4 
подставим d²=D²/4+d²/4 , D²/4=3d²/4. D²=3d². d=D/√3 =4r/√3
Площадь ромба S=D*d/2=4r*4r/2√3=8r²/√3