1.
![f(x)= \frac{x^2-3x}{x+1} \\ f'(x)= \frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2-x-3-x^2+3x}{(x+1)^2}= \frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2-3x%7D%7Bx%2B1%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B%282x-3%29%28x%2B1%29-%28x%5E2-3x%29%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D+%3D+%5Cfrac%7B2x%5E2-x-3-x%5E2%2B3x%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2x-3%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D)
Условие существования экстремума: f'(x) = 0.
<span>
![\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}=0 \\ \\ \left \{ {{x^2+2x-3=0} \atop {x+1 \neq 0}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2x-3%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D%3D0+%5C%5C+%5C%5C+++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%5E2%2B2x-3%3D0%7D+%5Catop+%7Bx%2B1+%5Cneq+0%7D%7D+%5Cright.)
</span><span>x² + 2x - 3 = 0
По теореме Виета:
x₁ = -3
x₂ = 1
</span>
![f'(x)= \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B%28x%2B3%29%28x-1%29%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D)
f'(x) > 0, x ∈ (-∞; -3) и f'(x) < 0, x ∈ (-3; -1) U (-1; 1) ⇒ <span>x₁ = -3 -- точка локального максимума
</span>f'(x) < 0, x ∈ (-3; -1) U (-1; 1) и f'(x) > 0, x ∈ (1; +∞) ⇒ x₂ = 1 -- точка локального минимума
2.
<span>
![f(x)= \frac{1}{3} x^2-4x](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+x%5E2-4x)
Непрерывная на отрезке функция может достигать своего наибольшего и наименьшего значений лишь на концах отрезка и в точках экстремума.
![f'(x)= \frac{2}{3} x-4 \\ f'(x)=0 \\ \frac{2}{3} x-4=0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+x-4+%5C%5C+f%27%28x%29%3D0+%5C%5C++%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+x-4%3D0)
x = 6 ∉ [0; 3] ⇒ </span><span>функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка.
![f(0)= \frac{1}{3} *0^2-4*0=0 \\ f(3)= \frac{1}{3} *3^2-4*3=-9](https://tex.z-dn.net/?f=f%280%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2A0%5E2-4%2A0%3D0+%5C%5C+f%283%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2A3%5E2-4%2A3%3D-9)
x = 0 -- точка максимума
</span>x = 3 -- точка минимума
Вот 1 картинка это упрощение, а 2 на множетели
2(2Cos²x - 1) -11Cosx +5 = 0
4Cos²x -2 -11Cosx +5 = 0
4Cos²x - 11Cosx +3 = 0
Решаем как квадратное
D = 121 - 48= 73
∠КРЕ = 30° (как смежный с внешним углом 150°)
Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
Значит, РЕ = 2КЕ = 18
По теореме Пифагора находим КР =
![\sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = 9 \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B324+-+81%7D+%3D+%5Csqrt%7B243%7D+%3D+9+%5Csqrt%7B3%7D+)
Для треугольника КСР сторона КР является гипотенузой.
Опять-таки катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
КР = 2КС
КС = 4,5
![\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B3%7D++)
РС =
![\sqrt{243 - 60,75} = \sqrt{182,25} = \sqrt{729*0,25} = 27 * 0,5 = 13,5](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B243+-+60%2C75%7D+%3D+%5Csqrt%7B182%2C25%7D+%3D++%5Csqrt%7B729%2A0%2C25%7D+%3D+27+%2A+0%2C5+%3D+13%2C5)
СЕ = РЕ - РС = 18 - 13,5 = 4,5
Про угол С не понял. Но если угол С рассматривается как сумма углов КСЕ и КСР, то ∠С = 180°
4. Ну, понятно, что угол АВС, как смежный с внешним углом равен 30°.
Угол САВ равняется 60°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.
Угол САВ = 180° - 90° - 30° = 60°
А вот дальше интересный момент. В прямоугольном треугольнике длина биссектрисы большего угла равна 2/3 от длины противолежащего катета. То есть ВС = 30. А катет лежащий напротив угла 60° больше гипотенузы в √3. Значит, АВ = 20√3
А АС, как нам уже известно - это половина гипотенузы большого треугольника, то есть 10√3.
Удачи!