Скорость - это производная от перемещения. Поэтому, если задана скорость, то путём интегрирования её по времени можно найти путь.
1. v(t) = t² + 1
Чтобы найти путь за первые 5 сек, надо найти определённый интеграл от 0 до 5 по времени:
![S(t)= \int\limits^5_0 {v(t)} \, dt =\int\limits^5_0 {(t^2+1)} \, dt = \\ \\ =( \frac{1}{3}t^3+t)|_0^5= (\frac{1}{3}*5^3+5) - (\frac{1}{3}*0^3+0)= \frac{125}{3} +5= \frac{140}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=S%28t%29%3D+%5Cint%5Climits%5E5_0+%7Bv%28t%29%7D+%5C%2C+dt+%3D%5Cint%5Climits%5E5_0+%7B%28t%5E2%2B1%29%7D+%5C%2C+dt+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%5E3%2Bt%29%7C_0%5E5%3D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A5%5E3%2B5%29+-+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A0%5E3%2B0%29%3D++%5Cfrac%7B125%7D%7B3%7D+%2B5%3D++%5Cfrac%7B140%7D%7B3%7D++)
2. v(t) = 12t - 3t²
Здесь аналогично, только надо найти пределы интегрирования. Понятно, что движение начинается с нулевой секунды. А вот момент остановки надо определить. Тело остановится, когда его скорость станет равна нулю:
v(t) = 12t - 3t² = 0; 3t (4 - t) = 0; t = 0 и t = 4
Отсюда вида, что тело остановится при t = 4. Нулевое значение не подходит по физическому смыслу.
Итак, интегрируем от 0 до 4:
![S(t) = \int\limits^4_0 {v(t)} \, dt =\int\limits^4_0 {(12t - 3t^2)} \, dt =(6t^2-t^3)|_0^4= \\ \\ (6*4^2-4^3 ) - (6*0^2-0^3 )=96-64=32](https://tex.z-dn.net/?f=S%28t%29+%3D++%5Cint%5Climits%5E4_0+%7Bv%28t%29%7D+%5C%2C+dt+%3D%5Cint%5Climits%5E4_0+%7B%2812t+-+3t%5E2%29%7D+%5C%2C+dt+%3D%286t%5E2-t%5E3%29%7C_0%5E4%3D+%5C%5C++%5C%5C+%286%2A4%5E2-4%5E3+%29+-+%286%2A0%5E2-0%5E3+%29%3D96-64%3D32)
3. v(t) = 6t + 4
Аналогично, только опять надо найти пределы интегрирования. Ищем путь за третью секунду, это значит от 2 до 3:
![S(t) =\int\limits^3_2 {v(t)} \, dt = \int\limits^3_2 {(6t + 4)} \, dt = ( 3t^2+4t)|_2^3 = \\ \\ ( 3*3^2+4*3) - (3*2^2+4*2 )=39 - 20 = 19](https://tex.z-dn.net/?f=+S%28t%29+%3D%5Cint%5Climits%5E3_2+%7Bv%28t%29%7D+%5C%2C+dt+%3D+%5Cint%5Climits%5E3_2+%7B%286t+%2B+4%29%7D+%5C%2C+dt+%3D+%28+3t%5E2%2B4t%29%7C_2%5E3+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%28+3%2A3%5E2%2B4%2A3%29+-+%283%2A2%5E2%2B4%2A2+%29%3D39+-++20+%3D+19+)
Везде результат в метрах, т.к. скорость была в м/с, а время в с.
X(x-2)+5(x-2)=0
x²-2x+5x-10=0
x²+3x-10=0
D=9+40=49
x1=-3+7/2=4/2=2
x2=-3-7/2=-10/2=-5
Ответ: 2;-5