Можно решить и не векторным методом, а системой уравнений.
Если точку А поместить в начало координат, а точку В на оси ОХ, то для отрезков АМ и ВМ получим систему:
![\left \{ {{AM^2=x^2+y^2} \atop {BM^2=(a-x)^2+y^2}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7BAM%5E2%3Dx%5E2%2By%5E2%7D%20%5Catop%20%7BBM%5E2%3D%28a-x%29%5E2%2By%5E2%7D%7D%20%5Cright.%20)
Суммируем и приравниваем к².
Получаем 2х²-2ах+2у² = к²-а².
Выделяем полные квадраты и получаем уравнение окружности:
![(x- \frac{a}{2} )^2+y^2= \frac{2k^2-a^2}{4} .](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7D%20%29%5E2%2By%5E2%3D%20%5Cfrac%7B2k%5E2-a%5E2%7D%7B4%7D%20.)
Центр окружности в точке ((а/2);0) и радиус равен √((2к²-а²)/4).
Для данной задачи ц<span>ентр окружности в точке (1;0) и радиус равен √((2*20-4)/4) = </span>√(36/4) = 3<span>.
</span>
Если разделить AC на 4 равные части и провести через границы этих частей перпендикуляры к AB, то AB разделится на 4 равные части по теореме Фалеса.
Пусть MH⊥AB, H∈AB ⇒ AH : BH = 1 : 3 ⇒ AB : BH = 4 : 3.
Т. к. ∠H = 90°, ∠HAM = 45° ⇒ ∠HMA = 45° = ∠HAM ⇒ AH = MH = 1/4
Рассмотрим ΔABN и ΔHBM: ∠ABN - общий, ∠A = ∠H = 90° ⇒ ΔABN ~ ΔHBM по I признаку ⇒ AN : MH = AB : HB ⇒ AN : (1/4) = 4 : 3 ⇒ AN = 1/3.
Ответ: 1/3
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции: Sabcd = (ВС+AD)*h/2.
Проведем высоту трапеции ВН (h) и среднюю линию трапеции КМ.
Средняя линия трапеции делит боковые стороны и высоту трапеции пополам, значит в треугольнике АВК КМ - медиана, которая делит этот треугольник на два РАВНОВЕЛИКИХ: МКВ и МКА.
Найдем площадь одного из них - площадь Smkb. Она равна половине произведения высоты, опущенной на основание. Пусть основание МК. Высота, опущенная на это основание, равна половине высоты трапеции.
А основание МК - это средняя линия трапеции: (ВС+АD)/2.
Итак: Smkb =(1|2)* [(BC+AD)/2]*h/2= (BC+AD)*h/8.
Как сказано выше, Sabk = 2*Smkb = (ВС+АD)*h/4.
Но это как раз половина площади трапеции! Что и требовалось доказать.
Решение во вложении
**************************************************************