Question

Доброго дня всем тем, кто сюда зайдет.

Вынужден обратиться за помощью.

Итак:

1. Найдите ту первообразную F(x) для функции f(x)=4x^3-8x, график которой проходит через точку А(1;3)

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченой линиями у=х^2 и у=4

Заранее благодарю за ответы.

Answer 1

$1) f(x) = 4x^3 - 8x; A(1;3)\\ F(x) = 4*\frac{x^4}{4} - 8*\frac{x^2}{2} + C = x^4 - 4x^2 + C$

У нас есть некоторая неопределенная первообразная, о чем нам говорит число С, его нам и надо найти, найдя его, найдем единственно нужную нам первообразную.

на даны координаты точки A(1;3) - 1 - x, 3 - y.

поэтому подставляем 3-ойку вместо значения функции, а еденицу вместо значения x.

$F(x)=x^4 - 4x^2 + C\\ 3 = 1^4 - 4*1^2 + C\\ 3 = 1 - 4 +C\\ 3 = -3 + C\\ C = 6$

поставляем это значение в первообразную

$F(x)=x^4 - 4x^2 + C\\ F(x) = x^4 - 4x^2 + 6$

Это и есть ответ.

2)площадь этой фигуры находится как интеграл от разности графиков y=4 и у=х^2, при чем ограничевается этот интеграл точками пересечениями этих графиков.

x^2 = 4

x = 2; - 2

$S_= \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx = (4x - \frac{x^3}{3})|\limits^2_{-2} =\\ = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 - \frac{-8}{3}) = 10\frac{2}{3}$