Question

Площадь ромба равна 96 см2. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба.
:-)

Answer 1

Обозначим ромб АВСД, середины его сторон К, М, Н и Р. 

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. 

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 

Примем диагонали ромба равными а и b. 

S (АВСД)=а•b/2

Стороны четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба, являются средними линиями треугольников, на которые диагонали ромба делят его. 

МН║АС║КР;

КМ||ВД║НР

Противоположные стороны четырехугольника КМНР параллельны, равны половинам диагоналей ромба. ⇒ 

КМНР параллелограмм. 

Т.к. АС⊥ВД, соседние стороны КМНР параллельны диагоналям ромба и тоже пересекаются под прямым углом. КМНР - прямоугольник. 

2S (АВСД)=а•b=192 см² 

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. 

S (КМНР)=0,5а•0,5b)=0,25ab 

0,25ab=192:4=48 см² - это ответ. 

--------

Вариант решения. 

Соединив середины противоположных сторон ромба, получим четыре равных ромба меньшего размера. Площадь каждого равна 96:4=24 см²

В свою очередь отрезки, соединяющие противоположные вершины маленьких ромбов, делят каждый из них пополам, т.е. на равновеликие треугольники. 

Площадь каждого 24:2=12 см*

Четырехугольник КМНР состоит из 4-х равновеликих треугольников.

 Следовательно, 

S (КМНР)=12•4=48 см²