Не смог удержаться, чтоб не ответить на этот вопрос. Он составлен не совсем правильно. Во-первых, тут один товарищ уже пытался объяснить, что невесомость, которая возникает в процессе свободного падения, может возникнуть на любой высоте - и это абсолютно правильно. Например, 10 метров. Просто она будет длиться доли секунды (пока вы не брякнетесь об землю). Если забраться повыше, например, на 10 тыс. метров, то ваше свободное падение, а значит, и невесомость, будет длится 44 секунды. И опять до того момента, пока вы не брякнетесь об землю.
Запуски космических аппаратов с Земли происходят по иному принципу. Их разгоняют до 1-й космической скорости и направляют по наклонной к поверхности земли. То есть этот процесс напоминает стрельбу из пушки. Аппарат сначала взмывает вверх, а когда ему приходит время падать, он падает, но не успевает упасть на землю, и пролетает мимо земли на огромной высоте. Пролетев землю, он подлетает к другой "мертвой" точке и опять начинает падать (только с другой стороны земли). И опять не попадает на нее, так как первая космическая скорость выносит его на такое расстояние от земли, что он постоянно падает, вращаясь вокруг Земли, но не падает на нее, хоть и притягивается ею.
Из-за этого космический корабль, запущенный на околоземную орбиту постоянно "падает", то есть постоянно находится в свободном падении. Естественно, что при этом там постоянно существует состояние невесомости. Месяцы и даже года. До тех пор, пока аппарат все-таки не снизится настолько, чтобы войти в плотные слои атмосферы.
Это расстояние, на котором появляется постоянное свободное падение (а значит и невесомость) давно вычислено (это апогей и перигей ИСЗ). Приблизительно они равны: высота в апогее - 219 км, высота в перигее - 187 км. Хотя могут быть незначительные отклонения. Все искусственные спутники земли вращаются приблизительно на этих орбитах. Просто при запуске им придают разный наклон для того, чтобы они не попали в ранее запущенный спутник. Хотя даже это очень маловероятно - так как в открытом космосе очень большие расстояния.
Все космонавты, в т.ч. и Ю. Гагарин были в космосе приблизительно на этих орбитах. Все испытывали состояние невесомости.
Вот ссылка на статью про апогей и перигей, а также про другие тонкости космонавтики.