Question

Sin²x + 2sinX · cosX - 3cos²X =0

Answer 1

$\sin^2x +2\sin x\cos x-3\cos^2x=0$
Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$, тогда получаем:
$\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x} +2\cdot \dfrac{\sin x\cos x}{\cos^2x} -3\cdot \dfrac{\cos^2x}{\cos^2x} =0\\ \\ tg^2x+2tg x-3=0$
Пусть $tg x=t\,\,\,(t \in \mathbb{R})$, тогда будем получать такое уравнение:
$t^2+2t-3=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16$
$D\ \textgreater \ 0$, значит уравнение имеет 2 корня.
$t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-2+4}{2} =1;\\ \\ t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-2-4}{2} =-3.$

Обратная замена:
$tg x= 1\\ x=arctg(1)+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \boxed{x_1= \dfrac{\pi}{4} + \pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$tg x=-3\\ \boxed{x_2=-arctg(3)+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$