Question

Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 8 см і утворює з площиною основи кут 30 градусів. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Answer 1

Если пирамида правильная - то её вершина проецируется в центр основы - это точка пересечения медиан (они же и высоты и биссектрисы).
Проекция бокового ребра на основу равна 2/3 высоты основы, а вся высота h равна 3/2 этой проекции:
h = (3/2)*8*cos 30°= 12*(√3/2) = 6√3 см.
Сторона а основания равна: а = h/cos 30° = 6√3/(√3/2) = 12 см.
Периметр Р основы равен: Р =3а = 3*12 = 36 см.
Находим апофему А боковой грани - это высота в равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами  по 8 см и основанием 12 см.
А = √(8²-(12/2)² = √(64-36) = √28 = 2√7 см.
Площадь Sбок боковой поверхности равна:
 Sбок = (1/2)Р*А = (1/2)*36*2√7 = 36√7 см².
Площадь Sо основания - равностороннего треугольника - равна:
Sо = (а²√3)/4 = 144√3/4 = 36√3 см².
Площадь S полной поверхности пирамиды равна:
S = Sо + Sбок = 36√3+36√7 = 36(√3+√7) ≈ 157,6009 см².