X²-16x+28=0
D=144
x1=2; x2=14
сумма корней будет 2+14=16
произведение корней будет 2*14=28
8^(x+1)=0,125
8^(x+1)=125/1000
8^(x+1)=1/8
8^(x+1)=8^(-1)
x+1=-1
x=-2
Вычислить:
Cos(2arctg4)
<span>Обозначим </span>arctg<span>4
через у, тогда получаем </span>сos2y,
который нужно преобразовать в тангенс половинного угла. Применим формулу и
получим:
<span>сos2y = (2tgy)/(1 + tg</span>²y) = (2*tg(arctg4) / (1
+ tg²(arctg4)) =
<span>= (2*4) / (1 + 4</span>²<span>) = 8/17 </span>
[ здесь применяем формулу: tg(arctgx) = x]
Решение во вкладыше.
Скорость - это производная от перемещения. Поэтому, если задана скорость, то путём интегрирования её по времени можно найти путь.
1. v(t) = t² + 1
Чтобы найти путь за первые 5 сек, надо найти определённый интеграл от 0 до 5 по времени:
![S(t)= \int\limits^5_0 {v(t)} \, dt =\int\limits^5_0 {(t^2+1)} \, dt = \\ \\ =( \frac{1}{3}t^3+t)|_0^5= (\frac{1}{3}*5^3+5) - (\frac{1}{3}*0^3+0)= \frac{125}{3} +5= \frac{140}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=S%28t%29%3D+%5Cint%5Climits%5E5_0+%7Bv%28t%29%7D+%5C%2C+dt+%3D%5Cint%5Climits%5E5_0+%7B%28t%5E2%2B1%29%7D+%5C%2C+dt+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dt%5E3%2Bt%29%7C_0%5E5%3D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A5%5E3%2B5%29+-+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A0%5E3%2B0%29%3D++%5Cfrac%7B125%7D%7B3%7D+%2B5%3D++%5Cfrac%7B140%7D%7B3%7D++)
2. v(t) = 12t - 3t²
Здесь аналогично, только надо найти пределы интегрирования. Понятно, что движение начинается с нулевой секунды. А вот момент остановки надо определить. Тело остановится, когда его скорость станет равна нулю:
v(t) = 12t - 3t² = 0; 3t (4 - t) = 0; t = 0 и t = 4
Отсюда вида, что тело остановится при t = 4. Нулевое значение не подходит по физическому смыслу.
Итак, интегрируем от 0 до 4:
![S(t) = \int\limits^4_0 {v(t)} \, dt =\int\limits^4_0 {(12t - 3t^2)} \, dt =(6t^2-t^3)|_0^4= \\ \\ (6*4^2-4^3 ) - (6*0^2-0^3 )=96-64=32](https://tex.z-dn.net/?f=S%28t%29+%3D++%5Cint%5Climits%5E4_0+%7Bv%28t%29%7D+%5C%2C+dt+%3D%5Cint%5Climits%5E4_0+%7B%2812t+-+3t%5E2%29%7D+%5C%2C+dt+%3D%286t%5E2-t%5E3%29%7C_0%5E4%3D+%5C%5C++%5C%5C+%286%2A4%5E2-4%5E3+%29+-+%286%2A0%5E2-0%5E3+%29%3D96-64%3D32)
3. v(t) = 6t + 4
Аналогично, только опять надо найти пределы интегрирования. Ищем путь за третью секунду, это значит от 2 до 3:
![S(t) =\int\limits^3_2 {v(t)} \, dt = \int\limits^3_2 {(6t + 4)} \, dt = ( 3t^2+4t)|_2^3 = \\ \\ ( 3*3^2+4*3) - (3*2^2+4*2 )=39 - 20 = 19](https://tex.z-dn.net/?f=+S%28t%29+%3D%5Cint%5Climits%5E3_2+%7Bv%28t%29%7D+%5C%2C+dt+%3D+%5Cint%5Climits%5E3_2+%7B%286t+%2B+4%29%7D+%5C%2C+dt+%3D+%28+3t%5E2%2B4t%29%7C_2%5E3+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%28+3%2A3%5E2%2B4%2A3%29+-+%283%2A2%5E2%2B4%2A2+%29%3D39+-++20+%3D+19+)
Везде результат в метрах, т.к. скорость была в м/с, а время в с.
Прилагаю таблицу интегралов.
Интеграл суммы(разности) равен сумме(разности) интегралов, т.е.:
s (3-sin2x)dx=s (3)dx - s (sin2x)dx=3x + C1 - 1/2*s (sin2x)d2x=
1/2 перед интегралов выносим, чтобы под дифференциалом х умножить на 2, т.е. как бы умножаем и делим на одно и то же число, чтобы ничего не изменилось. Делаем это для того, чтобы переменная интегрирования стала такой же, как и аргумент синуса, чтобы его можно было проинтегрировать.
=3х+C1-1/2*(-cos(2x))+C2=3x+C1+1/2*cos2x+C2
С1 и С2 - это константы, которые появляются в неопределенном интеграле, их можно объединить в одну, т.е. С1+С2=С. Тогда получим итоговое выражение:
3х+1/2*cos2x+C