Конечно же, согласно правилам русского языка, правильное написание этого выражения - "последний раз".
Слово "крайний" более уместным является там, где нужно указать местоположение чего-либо, например: крайняя петля в вязании. Также это слово может указывать на что-то слишком ярко (крайне) выраженное: крайняя левая партия.
Некоторые люди почему-то избегают употреблять слово "последний" применительно к себе или кому-то другому. По всей видимости, они верят в примету, связанную с этим словом: якобы можно навлечь неприятность, и какое-то действие действительно окажется последним в жизни человека. Поэтому и говорят или пишут "крайний раз".
Самое интересное состоит в том, что на слово "крайний" тоже многие обижаются, особенно если спросить, кто крайний в очереди. Возникает проблема: и "последний" нельзя сказать, и "крайний" - тоже нетактично (вроде бы как человек какой-то плохой, т.е. крайний по какому-то параметру).
Хоть я и не верю в такие приметы, но стараюсь уважать мнение людей, поэтому в той же очереди спрашиваю: "За кем можно занимать?" или "За кем я буду?".
Ну а выражение "крайний раз" действительно звучит немного смешно. Лучше вообще построить предложение таким образом, чтобы избегать фразы "в последний раз", если уж так не хочется ее писать или произносить. Например, можно сказать: "Я был такого-то числа в городе...", чем сообщать: "Я был крайний раз в городе..."