Предположим, что четырёхугольник - квадрат.
Угол между диагоналями квадрата будет равен половине, 90 градусов.
MN = √((2-1)² + (-3-(-1))² + (6-4)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
Пусть мы имеем прямоугольный треугольник АВС, катет АВ = 20 см, угол В - прямой, высота из прямого угла ВД, проекция ВС на АС равна 42 см.
Обозначим сторону ВС за х.
Косинус угла С равен 42/х, он же равен синусу угла А.
Высота ВД = √(х²-42²) = √(х²-<span><span>1764).
Синус угла А равен ВД/АВ = </span></span>√(х²-<span> 1764)/20.
Приравняем: </span>√(х²-<span> 1764)/20 = 42/х.
Чтобы избавиться от корня, возведём обе части равенства в квадрат.
</span>(х²- 1764)/400 = 1764/х².
Получаем биквадратное уравнение х⁴-1764х²-<span><span>705600 = 0.
Делаем замену: х</span></span>² = у.
у²-1764у-705600 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-1764)^2-4*1*(-705600)=3111696-4*(-705600)=3111696-(-4*705600)=3111696-(-2822400)=3111696+2822400=5934096;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y₁=(√5934096-(-1764))/(2*1)=(2436-(-1764))/2=(2436+1764)/2=4200/2=2100;y₂=(-√5934096-(-1764))/(2*1)=(-2436-(-1764))/2=(-2436+1764)/2=-672/2=-336 этот корень отбрасываем - х² не может быть отрицательным числом.
Отсюда х = √2100 = 10√21 ≈ <span>45,82576 см.
Теперь находим сторону АС = </span><span>√(400+2100) = </span><span>√2500 = 50 см.
Искомая проекция стороны АВ на АС равна 50-42 = 8 см.</span>