Предел. Неопределённость ∞/∞ раскрываем делением числителя и знаменателя на икс в максимальной степени, т.е на х³:
![\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-4x+7}{7x^3+2x-3} =\lim_{x \to \infty} \frac{2- \frac{4}{x^2}+ \frac{7}{x^3} }{7+ \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3} } = \frac{2- \frac{4}{\infty^2}+ \frac{7}{\infty^3} }{7+ \frac{2}{\infty^2} - \frac{3}{\infty^3} } = \frac{2- 0+ 0}{7+ 0-0 } = \frac{2}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B2x%5E3-4x%2B7%7D%7B7x%5E3%2B2x-3%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B2-+%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%5E2%7D%2B+%5Cfrac%7B7%7D%7Bx%5E3%7D+%7D%7B7%2B+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E2%7D+-+%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E3%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B2-+%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cinfty%5E2%7D%2B+%5Cfrac%7B7%7D%7B%5Cinfty%5E3%7D+%7D%7B7%2B+%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cinfty%5E2%7D+-+%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Cinfty%5E3%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B2-+0%2B+0%7D%7B7%2B+0-0+%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B7%7D+)
Производная. Используем табличную производную от синуса. Т.к. под синусом функция 5х, то функция сложная. Поэтому надо ещё взять производную от 5х и умножить её на производную синуса.
![y= sin5x \\ \\ y' = (sin5x)' = cos5x *(5x)' = cos5x* 5=5cos5x](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+sin5x+%5C%5C++%5C%5C+y%27+%3D+%28sin5x%29%27+%3D+cos5x+%2A%285x%29%27+%3D+cos5x%2A+5%3D5cos5x)
Решение смотри на фотографии
25х в 6 степени * 3ху в 6 степени * у в 8 степени
Примерно вот так.......................
Сделаем замену сначала: 7x=t, т.е ![x=\frac{t}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=+x%3D%5Cfrac%7Bt%7D%7B7%7D)
Поскольку x->0, то и 7x->0, значит и t->0.
Подставляем в наш предел то что получилось с учетом замены:
![\lim_{t \to 0} \frac{1-cos(t^2)}{\frac{t^2}{7^2}}= \\=\lim_{t \to 0} \frac{49(1-cos(t^2))}{t^2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B1-cos%28t%5E2%29%7D%7B%5Cfrac%7Bt%5E2%7D%7B7%5E2%7D%7D%3D+%5C%5C%3D%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B49%281-cos%28t%5E2%29%29%7D%7Bt%5E2%7D+)
Поскольку нас неопределенность 0/0 можно использовать правило Лопиталя.
Получаем:
![\lim_{t \to 0} \frac{49(2t\cdot sin(t^2))}{2t}=\\ =\lim_{t \to 0} 49(sin(t^2))=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B49%282t%5Ccdot+sin%28t%5E2%29%29%7D%7B2t%7D%3D%5C%5C+%3D%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D+49%28sin%28t%5E2%29%29%3D0)
Возможно я не так понял задание и там имелось в виду:
![\lim_{x \to 0} \frac{1-cos^2(7x)}{x^2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B1-cos%5E2%287x%29%7D%7Bx%5E2%7D)
Тогда используем ту же самую замену.:
![\lim_{t \to 0} \frac{49(1-cos^2(t))}{t^2}= \\= \lim_{t \to 0} \frac{49(sin^2(t))}{t^2}= \\=\lim_{t \to 0} 49\cdot \frac{(sin(t))}{t}\cdot \frac{(sin(t))}{t}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B49%281-cos%5E2%28t%29%29%7D%7Bt%5E2%7D%3D+%5C%5C%3D+%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B49%28sin%5E2%28t%29%29%7D%7Bt%5E2%7D%3D+%5C%5C%3D%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D+49%5Ccdot+%5Cfrac%7B%28sin%28t%29%29%7D%7Bt%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B%28sin%28t%29%29%7D%7Bt%7D)
Видим что здесь произведение двух "первых замечательных пределов", а именно:
![\lim_{t \to \0} \frac{sin(t)}{t}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bt+%5Cto+%5C0%7D+%5Cfrac%7Bsin%28t%29%7D%7Bt%7D%3D1)
Используем этот факт и получим:
Как-то так. Но обязательно проверь.