Question

Решение интегралов типа intR(sinx)cosx dx... (написаны в теме ниже)?

intR(sinx)cosx dx, intR(cosx)sin dx, intR(sinx,cosx)dx, intR(sin^2(x),cos^2(x)) dx?

нужно объяснение можно с примером, а можно без, лишь бы можно было бы понять как их решать ..

int- интеграл

P.S. (ответы типа : смотрив книге или на сайтах , то смотрела не поняла..., хочу объяснении с комментариями.)

Answer 1

Насколько я понял, R – это значок функции, например f(x). Поэтому запишем ваш первый интеграл так I = int[f(sinx)cosxdx]. Сюда входят и синус и косинус. Самый простой способ решения это заменить косинус на синус, или наоборот. При этом надо знать следующее равенство: d(sinx) = cosxdx. Или cosxdx = d(sinx). Тогда ваш интеграл примет более удобный вид I = int[f(sinx)dsinx]. Сюда входит только одна функция sinx. Чтобы было еще понятней, сделаем такую замену переменных: sinx = z. Тогда I = int[f(z)dz]. Для того чтобы решить этот интеграл, надо знать конкретный вид функции f(z).

Возьмем ваш второй интеграл I = int[f(cosx)sinxdx]. Метод решения тот же самый. Но надо вспомнить дифференциал от косинуса. Он тоже есть в таблицах. d(cosx) = -sinxdx. То есть sinxdx = - d(cosx). Тогда ваш второй интеграл примет вид I = -int[f(cosx)d(cosx)]. Для удобства введем замену переменных cosx = z. Имеем I = -int[f(z)d(z)]. Интегралы в алгебраическом виде решать проще, чем в тригонометрическом виде. И здесь надо знать конкретный вид функции f(z).

Теперь ваш третий интеграл int[f(sinx,cosx)dx]. Сделаем такую же замену переменных, как и в предыдущем случае. Здесь уже сложнее. Надо в подинтегральном выражении оставить только синус или только косинус, сделать что проще. Например, выразим sinx через cosx. Из тригонометрии мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. То есть сумма квадратов синуса и косинуса равна 1. Отсюда sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Тогда sinx = корень[1 - cos^2(x)]. Где корень[ ] означает взять квадратный корень из выражения, стоящего в квадратных скобках. То есть мы заменили синус на косинус. Остается интеграл только от косинуса. I = int[f(cosx)]dx. Например, имеем интеграл I = int[cos^2x * sinxdx]. Заменим синус на косинус. I = int{cos^2x * корень[1 - cos^2(x)]dx}. Получилось сложное выражение. Но метод решения вашего интеграла – надо выразить синус через косинус или косинус через синус, и выбрать что проще. Для решения интеграла int[f(cosx)]dx тоже бывает проще перейти к алгебраическому выражению. Сделаем замену переменных cosx = z. Но dz = dcosx = -sinxdx = - корень[1 – cos^2x]dx = - корень[1 – z^2]dx. Отсюда dx = -dz/корень[1 – z^2]. Имеем I = int[f(cosx)]dx = -int[f(z)dz/корень(1 – z^2)].