<em>Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3</em><em>:</em><em>1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3. </em>
<em><u>Найдите периметр фигуры,</u> образованной внешними касательными и внешними частями окружностей. </em>
<em>
</em>
––––––––––––––
<span>Обозначим O и O1 центры окружностей радиусов r и 3r соответствено. </span>
<span>Пусть <em>AК</em> и <em>ВМ</em> – общие внешняя касательные этих окружностей (точки A и В лежат на меньшей окружности, К и М– на большей). Соединим точки касания и радиусы соответственных окружностей. </span>
Из О проведем перпендикуляр ОН к КО1.
АКНО – прямоугольник.
В ⊿ ОНО1 катет ОН=АК=6√3; катет НО1=2r, гипотенуза ОО1=r+3r=4r
Катет О1Н рпвен половине гипотенузы ОО1, следовательно,
∠ НОО1=30º, ∠ НО1=60º, и <span>длина ОО1=ОН:sin 60º</span>
4r=ОО1=6√3):(√3/2)=12
r=12:4=3
О1К=3r=9
Искомый периметр - сумма: ◡АВ -меньшей окружности, ◡КМ - большей окружности и длин АК и ВМ двух общих касательных.
∠АОО1=О1ОВ=∠АОН+∠НОО1=90°+30°=120°
◡АВ содержит угол АОВ=120º и равна 1/3 длины С меньшей окружности
С=2πr=6π
◡АВ=2π
∠КО1М=2∠КО1О=120°
меньшая ◡КМ внутри фигуры=1/3 длины окружности, большая
◡КМ =2/3 длины С1 большей окружности
С1=2π•9=18p
◡КМ=12π
Периметр равен сумме найденных длин дуг и длин двух общих внешних касательных.
<span>Р=2π+12π+2•6√3=14π+12√3 </span>
. Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.