Расстояние между параллельными прямыми - длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной прямой к другой.
Проведем АС⊥b.
ΔАВС: ∠АСВ = 90°, ∠АВС = 30°. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы:
АС = АВ/2 = 20/2 = 10 см - расстояние между прямыми а и b.
Дан угол при вершине и площадь S треугольника:
1) пусть бок. сторона есть а, а основание - b, тогда:
S = 1/2 * a^2 * sin o, где о - угол между бок.сторонами.
=> a = sqrt (2S / sin o)
Дан периметр P и угол о между бок.сторонами
1) a * sin(o/2) = b / 2 => b = 2a * sin(o/2)
2) P = 2a + b = 2a( 1 + sin(o/2)) => a = 2P / (1 + sin(o/2))
Сделал 2 отдельных чертежа, чтобы было не так громоздко.
Пусть дан треугольник из условия и пусть K - середина BC,
T - точка пересечения окружности с прямой QI (см. рис. 1.)
Часть 1.
Докажем, что AT || KI (кто это и так знает, может читать сразу часть 2).
а) Пусть N - точка касания вневписанной окружности
к АBC (см. рис. 1) тогда IT||FN, значит ∠AIT=∠AFN, IT/FN=IH/FJ=AI/AF, т.е. треугольники AIT и AFN подобны, а значит ∠IAT=∠FAN, т.е. точки A, T, N лежат на одной прямой.
б) Пусть BC=a, AC=b, AB=c. Тогда,
т.к. окр. I вписана в ABC, то если обозначить CQ=x,
по свойствам отрезков касательных будет AH=AR, т.е.
b-x=c-(a-x), значит x=(a+b-c)/2, откуда QK=a/2-x=(c-b)/2.
Т.к. окр. F вневписана в ABC, то если обозначить CN=y, то
по свойствам отрезков касательных будет AJ=AG, т.е.
b+y=c+(a-y), значит y=(a-b+c)/2, откуда QN=y-x=с-b.
Итак, QN=2QK, т.е. IK - средняя линия треугольника QTN, т.е. IK||AT.
Часть 2.
Пусть теперь QL⊥BC и QL=h, где h - высота треугольника ABC, проведенная к BC, IQ=r, точка S=AK∩QL (см. рис 2.)
Т.к. QSK и LSA подобны и IK || AT, то LS/SQ=AL/QK=LT/IQ=(h-2r)/r.
Т.е. точка S разбивает LQ в отношении (h-2r)/r, что легко строится.
Итак, построение (его я уже не рисовал, т.к.пользы от этого мало).
1) Через Q проводим прямую BC перпендикулярную IQ.
2) Строим LQ=h=3*ME (см. рис.) очевидно как.
3) На прямой BC по одну сторону от Q откладываем
точки U,V так, что QU=r, QV=h-r и через U
проводим прямую параллельную прямой VL. Ее пересечение
с QL и есть S, т.к. LS/SQ=UV/UQ=(h-2r)/r.
4) Через L проводим прямую параллельную
BC (если она еще не проведена :), находим точку А как ее пересечение с
прямой MS.
5) Строим окружность с центром I радиуса r и
касательные к ней из точки А, до их пересечения
с прямой BC в точках B и С.
Пусть дана трапеция AБСД. Основание АД=26, а основание БС=14. Проведём высоты БЕ и СФ. Тогда ЕФ=БС=14, так как БСФЕ - прямоугольник. Следовательно, АЕ=ФД=(26-14):2=6.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, следовательно: 160=БЕ*(14+26):2=СФ*(14+26):2, следовательно, БЕ=СФ=8.
Рассмотрим треугольники БЕА и СФД. Они равны по трём сторонам. Следовательно, по теореме Пифагора: АБ^2=БЕ^2+АЕ^2, следовательно АБ=10=СД.
Ответ: 10.