Question

Периметр треугольника abc равен 12 окружность касающаяся стороны AB и продолжение сторон AC и BC касается прямой АС в точке Р. К этой окружности проведена касательная параллельная прямой AB и пересекающая продолжение сторон АС и ВС в точках M и N так что MN=3 НАйдите длину отрезка PQ где Q точка касания вписаной окружности треугольника ABC со стороной AC.

Answer 1

Так как MN║АВ, четырехугольник АВNM - трапеция.
В трапецию можно вписать окружность только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

АВ+MN=AM+BN

Периметр СМN= периметр АВС- АВ+3+AM+BN =Р АВС- АВ+3+(АВ+3)=12+6=18

ᐃ АВС ~ ᐃ MСN по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей и общему углу С.

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению его сторон.
Р ᐃ MСN: Р ᐃ АВС=18:12=1,5

MN:АВ=1,5
3:АВ=1,5
АВ=3:1,5=2 см ( вообще-то не пригодится)
----
Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением его боковой стороны равно его полупериметру :

СР=12:2=6см
Поскольку ᐃ АВС ~ ᐃ MСN, все их соответственные части имеют равный коэффициент подобия.
СР:СQ=1,5
6:СQ=1,5
СQ=6:1,5=4 см
РQ=СР- СQ=6  -4=2 см