В условии ничего не сказано, где расположены точки E, F, D. Так как в треугольник вписана окружность, можно предположить, что E, F, D - точки касания. Тогда возможно 4 варианта расположения точек с учётом угла ∠EOF = 126° Для решения нужно знать: Радиус в точку касания образует прямой угол с касательной. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°
1) Точки E и D - точки касания катетов, F - точка касания гипотенузы Четырёхугольник AFOE : ∠A = 360°-∠EOF -∠AEO -∠AFO = 360°-126°-90°-90° = 54° ΔABC - прямоугольный, ∠B = 90°, ∠A = 54° ∠С = 90° - ∠A = 90° - 54° = 36° BEOD - квадрат ⇒ ∠DOE = 90° Четырёхугольник CFOD : ∠FOD = 360° -∠CFO -∠CDO -∠C = 360°-90°-90°-36° = 144°
2) Точки F и D - точки касания катетов, E - точка касания гипотенузы Четырёхугольник CFOE : ∠C = 360°-∠EOF -∠CEO -∠CFO = 360°-126°-90°-90° = 54° ΔABC - прямоугольный, ∠B = 90°, ∠C = 54° ∠A = 90° - ∠C = 90° - 54° = 36° BFOD - квадрат ⇒ ∠DOF = 90° Четырёхугольник AEOD : ∠EOD = 360° -∠AEO -∠ADO -∠A = 360°-90°-90°-36° = 144°
Как видно из решения, меняются обозначения точек, но величины углов получаются одинаковыми. Такими же они и останутся для вариантов 3 и 4, если обозначение точек касания катетов поменять местами.
Ответ независимо от буквенного обозначения: острые углы будут равны 54° и 36°, центральные углы будут равны 126°, 90°, 144°
CH=BP по условию BD=AC по условию AH=DP по условию Следовательно, треугольники ACH и PBD равны по трем сторонам (3-ий признак равенства треугольников) Из равенства следует, что углы CHA и DPB равны, значит DPB=CHA=140/2=70 Ответ: 70; 70
Обозначим точку касания одной из касательных В. ΔАОВ прямоугольный , так как радиус ОВ проведём в точку касания. sinOAB=OB:AO sinOAB=6:(4√3)=√3/2, значит угол ОАВ=60⁰ Так как из точки А проведены 2 касательные, то АО -биссектриса угла А, значит угол А=60⁰·2=120⁰ Ответ : угол между касательными 120⁰