Для начало выведем некие следствия, пусть наши основания большее и меньшее соответственно равны
![b,c](https://tex.z-dn.net/?f=b%2Cc)
. Пусть высота
![h](https://tex.z-dn.net/?f=h)
тогда по условию
![\frac{b+c}{2}=h\\ ](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bb%2Bc%7D%7B2%7D%3Dh%5C%5C%0A)
. Заметим что из условия следует что трапеция РАВНОБЕДРЕННАЯ , так как только около нее можно описать окружность . Следовательно обозначим боковые стороны как
![a](https://tex.z-dn.net/?f=a)
, диагонали у трапеции равны
![d_{1}=d_{2}=d](https://tex.z-dn.net/?f=d_%7B1%7D%3Dd_%7B2%7D%3Dd)
. Как известно у равнобедренной трапеций если высота равна средней линий , то диагонали будут взаимно перпендикулярны. Далее мы будем использовать этот факт . Тогда с одной стороны площадь трапеций равна
![S=\frac{d*d*sin90}{2}=\frac{d^2}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cfrac%7Bd%2Ad%2Asin90%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7B2%7D)
, с другой стороны
![S=\frac{b+c}{2}*h=h*h=h^2](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cfrac%7Bb%2Bc%7D%7B2%7D%2Ah%3Dh%2Ah%3Dh%5E2)
из чего следует
Рассмотрим треугольник
![BCD](https://tex.z-dn.net/?f=BCD)
радиус описанной около этого треугольника , будет равен радиусу описанного около трапеций
![ABCD](https://tex.z-dn.net/?f=ABCD)
.
Площадь треугольника
![S_{BCD}=\frac{c*h}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BBCD%7D%3D%5Cfrac%7Bc%2Ah%7D%7B2%7D)
, так как у нас центр окружности делить нашу высоту в отношений
![3:4](https://tex.z-dn.net/?f=3%3A4)
(как вы сказали от большего) то обозначим соотношения как
![3x;4x](https://tex.z-dn.net/?f=3x%3B4x)
. Тогда высота трапеций и треугольника будет равна
![h=7x](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D7x)
. Значит площадь треугольника
![S_{BCD}=\frac{7x*c}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BBCD%7D%3D%5Cfrac%7B7x%2Ac%7D%7B2%7D)
. Как известно по формуле
![R=\frac{abc}{4R}](https://tex.z-dn.net/?f=R%3D%5Cfrac%7Babc%7D%7B4R%7D)
вычислим наш радиус
![R=\frac{7x\sqrt{2}*a*c}{4*\frac{7x*c}{2}}=10\\ a=\frac{20}{\sqrt{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=R%3D%5Cfrac%7B7x%5Csqrt%7B2%7D%2Aa%2Ac%7D%7B4%2A%5Cfrac%7B7x%2Ac%7D%7B2%7D%7D%3D10%5C%5C%0Aa%3D%5Cfrac%7B20%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D)
. Теперь можно поступить так
1) По теореме Пифагора выразим радиус , зная отношения
2) Выразим радиус по формуле
1)
2) если все подставить перейдем на такое уравнение
![R=\frac{140cx}{\sqrt{-98x^2+280x+c^2-200}\sqrt{98x^2+280x-c^2+200}}](https://tex.z-dn.net/?f=R%3D%5Cfrac%7B140cx%7D%7B%5Csqrt%7B-98x%5E2%2B280x%2Bc%5E2-200%7D%5Csqrt%7B98x%5E2%2B280x-c%5E2%2B200%7D%7D)
оно равна 10
1)
![c^2=400-36x^2\\ ](https://tex.z-dn.net/?f=++c%5E2%3D400-36x%5E2%5C%5C%0A)
подставляя во второе уравнение
![\frac{140x\sqrt{400-36x^2}}{\sqrt{-98x^2+280x+400-36x^2-200}\sqrt{98x^2+280x-400+36x^2+200}}=10](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B140x%5Csqrt%7B400-36x%5E2%7D%7D%7B%5Csqrt%7B-98x%5E2%2B280x%2B400-36x%5E2-200%7D%5Csqrt%7B98x%5E2%2B280x-400%2B36x%5E2%2B200%7D%7D%3D10)
откуда решая это уравнение получаем
![x=2](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D2)
тогда основание нижнее равна
![c=\sqrt{400-36*4}=16\\ \frac{b+16}{2}=14\\ b+16=28\\ b=12](https://tex.z-dn.net/?f=c%3D%5Csqrt%7B400-36%2A4%7D%3D16%5C%5C%0A%5Cfrac%7Bb%2B16%7D%7B2%7D%3D14%5C%5C%0Ab%2B16%3D28%5C%5C%0Ab%3D12)
Ответ основания равны 16 и 12