Возьмем, например, такое уравнение:
ах^2 + (а + 1)х + а^2 + а = 0
Нужно найти все решения при любых значениях а
1) При а = 0 уравнение будет линейным:
0x^2 + 1x + 0 + 0 = 0
x = 0
2) При a =/= 0 уравнение будет квадратным. Находим дискриминант.
D = (a+1)^2 - 4a(a^2+a) = a^2+2a+1-4a^3-4a^2 = -4a^3-3a^2+2a+1 = (a+1)(-4a^2+a+1)
Если D > 0, будет 2 разных корня. Если D = 0, будет 2 одинаковых, то есть 1 кратный корень. Если D < 0, корней нет.
a1 = -1
-4a^2 + a + 1 = 0
D1 = 1^2 - 4*(-4)*1 = 17
a2 = (-1 - √17)/(-8) = (1 + √17)/8 ~ 0,64
a3 = (1 - √17)/8 ~ -0,39
При a < -1, при (1 - √17)/8 < a < 0 и при 0 < a < (1 + √17)/8 будет D < 0, корней нет.
При a = -1 будет 1 корень
-x^2 + 0x + 1 - 1 = 0
x = 0
При -1 < a < (1 - √17)/8 и при a > (1 + √17)/8 будет D > 0, два корня
x1 = (-a-1 - √(-4a^3-3a^2+2a+1)) / (2a)
x2 = (-a-1 + √(-4a^3-3a^2+2a+1)) / (2a)
При a = 0 будет один корень x = 0
При a = (1 - √17)/8 будет 1 корень
x = -b/(2a) = (-a-1)/(2a) = (√17-1-8)/8 : (1-√17)/4 = (√17-9)/(2-2√17)
При a = (1 + √17)/8 будет 1 корень
x = -b/(2a) = (-a-1)/(2a) = (-√17-1-8)/8 : (1+√17)/4 = (-√17-9)/(2+2√17)
Вот примерно так уравнения с параметром и решаются.
