Question

Найдите все значения параметра а при которых неравенство (а^2-5а+6)х^2-2(а-3)х+1>0 выполняется при всех действительных значениях х

Answer 1

Данное неравенство выполняется при следующих условиях:
1. Старший коэффициент а²-5а+6>0- парабола направлена ветвями вверх.
2. Дискриминант D=4(a-3)²-4(a²-5a+6)<0
Получим систему неравенств, решим их поочередно:
а²-5а+6>0
a∈(-oo;2)U(3;+oo)
4(a-3)²-4(a²-5a+6)<0
4a²-24a+36-4a²+20a-24<0
-4a+12<0
4a>12
a>3
Решением системы будет промежуток a∈(3;+oo)
Однако было бы ошибкой на этом завершить решение, в подобных заданиях с параметром важно учесть случаи когда наше неравенство не будет квадратным, при а²-5а+6=0, неравенство линейное, заметим, что при а=3, неравенство примет вид 1>0, что тоже верно, поэтому точку а=3 необходимо включить в решение.
Ответ: a∈[3;+oo)