Question

Среднее арифметическое нескольких различных чисел меньше большего из этих чисел. Верно или нет

Answer 1

Это утверждение верно.

Для тех кому интересно, ниже приведено доказательство. 

Утверждение: 

Пусть $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ различные вещественные числа. 

Тогда, среднее арифметическое данных чисел, меньше большего из этих чисел. 

То есть, выполняется:

$\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}\ \textless \ \max\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}$

Доказательство:

Предположим, не исключая общности, что $a_n=\max\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}$.

Тогда выполняется: $a_i \leq a_n$ (для всех $i\in \mathbb N$, таких что $1 \leq i \leq n$).

Откуда следует: 

$\displaystyle a_1+a_2+a_3+...+a_n \leq n\cdot a_n$

То есть,

$\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} \leq \frac{na_n}{n}=a_n$

Однако, данные числа различны. Следовательно:

$\displaystyle \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ \textless \ a_n =\max\{a_1,a_2,...,a_n\}$

Ч.Т.Д.