Question

Даны действительные числа x и y, удовлетворяющие уравнениям x^3 -3xy^2 =46, y^3-3x^2y =9 Значение выражения x^2 +y^2 равно ...

Answer 1

$\begin{cases} & \text{ } x^3-3xy^2=46 \\ & \text{ } y^3-3x^2y=9 \end{cases}\,\,\, \Rightarrow \begin{cases} & \text{ } x^3-3xy^2-46=0 \\ & \text{ } y^3-3x^2y-9=0 \end{cases}$
Следующая система эквивалентна предыдущей системе:
$\begin{cases} & \text{ } 9(x^3-3xy^2-46)-46(y^3-3x^2y-9)=0 \\ & \text{ } y^3-3x^2y-9=0 \end{cases}\\ \\ \begin{cases} & \text{ } 9x^3-27xy^2+138x^2y-46y^3 =0 \\ & \text{ } y^3-3x^2y-9=0 \end{cases}$
Упростим первое уравнение.
$9x^3-27xy^2+138x^2y-46y^3=0|:y^3\\ \\ 9\cdot\bigg( \dfrac{x}{y} \bigg)^3-27\cdot \dfrac{x}{y} +138\cdot \bigg( \dfrac{x}{y} \bigg)^2-46=0$

Пусть $\dfrac{x}{y} =t$, тогда имеем:
$9t^3+138t^2-27t-46=0$
Разложим на множители:
$9t^3-6t^2+144t^2-96t+69t-46=0\\ 3t^2(3t-2)+48t(3t-2)+23(3t-2)=0\\ (3t-2)(3t^2+48t+23)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$3t-2=0\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\, t= \dfrac{2}{3}$
$3t^2+48t+23=0\\ D=b^2-4ac=48^2-4\cdot3\cdot 23=2028$
$D\ \textgreater \ 0$, значит квадратное уравнение имеет 2 корня:
$t= \dfrac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-48\pm \sqrt{2028} }{2\cdot 3} = \dfrac{-48\pm26 \sqrt{3} }{2\cdot 3} = \dfrac{-24\pm13 \sqrt{26} }{3}$

Поскольку по условию $x,y\,\, \in\,\, \mathbb{R}$, то нам можно решить только одну систему

$\begin{cases} & \text{ } \dfrac{x}{y}= \dfrac{2}{3} \\ & \text{ } y^3-3x^2y-9=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x= \dfrac{2y}{3} \\ & \text{ } y^3-3\cdot \dfrac{4y^2}{9}\cdot y-9=0 \end{cases}\\ \\ 3y^3-4y^3-27=0\\ y=-3\\ x= \dfrac{2\cdot(-3)}{3} =-2$

Найдем значение: $x^2+y^2=(-2)^2+(-3)^2=4+9=13$


Ответ: $13.$