Question

Решите уравнение целыми числами х^2+ху-у=2

Answer 1

Выразим игрек через икс:
$x^{2} +xy-y=2 \\ y(x-1)=2- x^{2} \\ y= \frac{2- x^{2} }{x-1}$

Выделим целую часть:
$y= \frac{2- x^{2} }{x-1} =-\frac{x^{2}-2 }{x-1}=-\frac{(x^{2}-1)-1 }{x-1}=-\frac{(x-1)*(x+1)-1 }{x-1}= \\ =-(x+1)+ \frac{1}{x-1}$

x и y - целые числа, значит, $\frac{1}{x-1}$ тоже д.б. целым. А это возможно только при условии, что (x - 1) = +/- 1. Откуда получаем:
$x_{1} =0 \\ x_{2} =2$

Вычисляем игрек:
$y_{1}=-(x+1)+ \frac{1}{x-1}=-(0+1)+\frac{1}{0-1}=-2 \\ y_{2}=-(x+1)+ \frac{1}{x-1}=-(2+1)+\frac{1}{2-1}=-2$

Ответ:
x1 = 0; y1 = -2
x2 = 2; y2 = -2