Question

Помогите решить 2(x²+1÷x²)-7(x+1÷x)+9=0

Answer 1

$2(x^2+ \dfrac{1}{x^2})-7(x+ \dfrac{1}{x})+9=0$

Замена
$(x+ \dfrac{1}{x})=t$

Выясним взаимосвязь $x^2+ \dfrac{1}{x^2}$ и $x+ \dfrac{1}{x}$
$(x+ \dfrac{1}{x})^2=x^2+ \dfrac{2x}{x}+ \dfrac{1}{x^2}=x^2+ \dfrac{1}{x^2}+2$


$2(t^2-2)-7t+9=0 \\ 2t^2-4-7t+9=0 \\ 2t^2-7t+5=0 \\ D=49-40=9=3^2 \\ t_1= \dfrac{7-3}{4}=1 \\ t_2= \dfrac{7+3}{4}= \dfrac{5}{2}$

Обратная замена
$1) \\ x+ \dfrac{1}{x}=1 \\ x^2+1=x \\ x^2-x+1=0 \\ D=1-4=-3$
нет решений

$2) \\ x+ \dfrac{1}{x}= \dfrac{5}{2} \\ 2x^2+2=5x \\ 2x^2-5x+2=0 \\ D=25-16=9=3^2 \\ x_1= \dfrac{5-3}{4}=0,5 \\ x_2= \dfrac{5+3}{4}=2$

Ответ: $x=0,5;x=2$