Question

При каких значениях a имеет решение уравнение sin^6x+cos^6x=a*sin4x

Answer 1

$\sin^6x+\cos^6x=a\sin 4x\\ (\underbrace{\sin^2x+\cos^2x}_{1})(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)=a\sin 4x\\ \\ \sin^4x-2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x+\sin^2x\cos^2x=a\sin4x\\ \\ (\sin^2x-\cos^2x)^2+\frac{1}{4}\cdot(2\sin x\cos x)^2=a\sin 4x\\ \\ \cos^22x+\frac{1}{4}\sin^22x=2a\sin 2x\cos 2x~~~|\cdot 4\\ \\ 4\cos^22x+\sin^22x=8a\sin 2x\cos 2x~~~|:\cos^22x\ne 0\\ \\ 4+{\rm tg}^22x=8a{\rm tg}\, 2x\\ \\ {\rm tg}^22x-8a{\rm tg}\, 2x+4=0$

Пусть ${\rm tg}\, 2x=t$ при этом $t\in \mathbb{R}$, получим

$t^2-8at+4=0\\ D=(-8a)^2-4\cdot1\cdot4=64a^2-16$

Квадратное уравнение имеет корни, если дискриминант неотрицательный.

$64a^2-16\geqslant0\\ a^2\geqslant\frac{1}{4}\\ \\ |a|\geqslant\frac{1}{2}~~~~\Rightarrow~~~~\left[\begin{array}{ccc}a\leqslant-\frac{1}{2}\\ \\ a\geqslant\frac{1}{2}\end{array}\right$

Ответ: при a ∈ (-∞;-1/2] ∪ [1/2; +∞) уравнение имеет решение.