Question

В трапеции ABCD известны длины оснований: AD = 18, BC = 9. Диагонали трапеции AC и BD пересекаются в точке O. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь треугольника AOD = 54

Answer 1

Проведем высоту HK так, чтобы она проходила через точку O. 

По свойству трапеции, треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на основаниях трапеции, подобные. Найдем коэффициент подобия:
$k= \dfrac{BC}{AD}= \dfrac{9}{18}= \dfrac{1}{2}$
Площади подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия:
$\dfrac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=k^2 \\ \\ \dfrac{S_{BOC}}{54}= \dfrac{1}{4} \\ S_{BOC}=13,5$

Найдем высоты треугольников AOD и BOC через площадь
$OK= \dfrac{2S_{AOD}}{AD}= \dfrac{108}{18}=6 \\ HO= \dfrac{2S_{BOC}}{BC}= \dfrac{27}{9}=3$

Тогда высота трапеции HK равна
$HK=HO+OK=3+6=9$

И площадь трапеции равна:
$S_{ABCD}= (\dfrac{AD+BC}{2})*HK= (\dfrac{18+9}{2})*9=121,5$

Ответ: 121,5