Question

Решить уравнение: В ответ записать произведение корней Ответ: 25

Answer 1

$\frac{x^2+x-5}{x}+ \frac{3x}{x^2+x-5}+4=0$
Замена:
$\frac{x^2+x-5}{x}=a\Rightarrow \frac{3x}{x^2+x-5}= \frac{3}{a} ; \ (x \neq 0, \ a \neq 0)$
Решаем уравнение:
$a+ \frac{3}{a} +4=0 \\\ a^2+4a+3=0 \\\ a^2+a+3a+3=0 \\\ a(a+1)+3(a+1)=0 \\\ (a+1)(a+3)=0 \\\ a_1=-1 \\\ a_2=-3$
Возвращаемся к исходной переменной:
$\left [ {{\dfrac{x^2+x-5}{x}=-1} \atop {\dfrac{x^2+x-5}{x}=-3}} \right. \\\ \left [ {{x^2+x-5=-x} \atop {x^2+x-5=-3x}} \right. \\\ \left [ {{x^2+2x-5=0} \atop {x^2+4x-5=0}} \right.$
Найдем дискриминанты получившихся уравнений:
$\left [ {{D_1=1^2-1\cdot(-5)=1+5=6\ \textgreater \ 0}\atop {D_1=2^2-1\cdot(-5)=4+5=9\ \textgreater \ 0}} \right.$
Оба дискриминанта положительные, значит у каждого уравнения есть по два корня, причем ни один из них не равен нулю.
Можно записать сами корни:
$x_{12}= -1\pm \sqrt{6} ; \ x_3=-2-3=-5; \ x_4=-2+3=1$
Так как нужно найти произведение корней, то по теореме Виета (произведение корней приведенного квадратного уравнения есть свободный член) запишем:
$\left [ {{x_1x_2=-5} \atop {x_3x_4=-5}} \right.$
Находим произведение всех корней:
$x_1x_2x_3x_4=(-5)\cdot(-5)=25$
Ответ: 25