Question

Lim x стремится к 0(нуль) (1+2x)^5/x Lim x стремится к бесконечности (x/1+x)^x долблюсь уже пол часа и решить не могу. Помогите!

Answer 1

Приводятся ко второму замечательному пределу.

1. $\lim_{x \to \inft0} (1+2x)^{ \frac{5}{x} }$
Неопределённость $1^{oo}$
$\lim_{x \to \inft0} (1+2x)^{ \frac{5}{x}}=\lim_{x \to \inft0} (1+2x)^{ \frac{1}{2x}*2x* \frac{5}{x}}= \\ \\ \=lim_{x \to \inft0} ((1+2x)^{\frac{1}{2x}})^{2x* \frac{5}{x}}=(lim_{x \to \inft0} (1+2x)^{\frac{1}{2x}})^{10}=e^{10}$

2. $\lim_{x \to \infty} ( \frac{x}{x+1})^x$
Неопределённость $1^{oo}$
$\lim_{x \to \infty} ( \frac{x}{x+1})^x = \lim_{x \to \infty} ( \frac{(x+1) -1}{x+1})^x=\lim_{x \to \infty} ( 1+\frac{-1}{x+1})^x= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} ( 1+\frac{-1}{x+1})^{\frac{x+1}{-1}*\frac{-1}{x+1}*x}=\lim_{x \to \infty} (( 1+\frac{-1}{x+1})^{\frac{x+1}{-1}}) ^{\frac{-x}{x+1}}= \\ \\ (\lim_{x \to \infty} ( 1+\frac{-1}{x+1})^{\frac{x+1}{-1}}) ^{\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x+1}}=e^{\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x+1}}=e^{-1}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x+1}}= \frac{-1}{1+ \frac{1}{x} }= \frac{-1}{1+ \frac{1}{oo} } = \frac{-1}{1+0} =-1$