Question

Решить пример подробно:
$\lim_{n \to \infty} ( \frac{n}{5n+11}) ( \frac{cosn}{10n} )$
Как решать подобные пределы с синусами и косинусами?
Что делать, если при решении предела в числителе получается число, а в знаменателе 0?

Answer 1

Тут достаточно использовать правило:
Пусть $(a_n),(b_n)$ сходящиеся последовательности. То,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_nb_n = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n$

Т.е. достаточно показать что данные две последовательности сходятся, а дальше перемножить их пределы.

$\displaystyle 1)\lim_{n \to \infty} \frac{n}{5n+11}= \lim_{n \to \infty} \frac{n/n}{5n/n + 11/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5+11/n} =\\\\ = \frac{1}{5+ \lim_{n \to \infty} 11/n} = \frac{1}{5+0} = \frac{1}{5}$

Как же найти второй предел? Достаточно в нашем случае вспомнить фундаментальное неравенство: $-1 \leq \cos x \leq 1$.

Теперь умножаем на нужное число:
$\displaystyle - \frac{1}{10n} \leq \frac{\cos n}{10n} \leq \frac{1}{10n}$

Так как,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{10n}= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{10n}=0$

То следуя теореме о двух милиционерах: 
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{10n}=0$

Откуда получаем:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( \frac{n}{5n+11}\right) \left( \frac{\cos n}{10n} \right) = \frac{1}{5} \cdot 0=0$