Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ ХОТЬ КАКИЕ-ТО ЗАДАНИЯ (СРОЧНО)

Answer 1

$1)\quad \int 3x^2(1-x^3)^8dx=[\, t=1-x^3,\; dt=-3x^2\, dx\; ]=\\\\=-\int t^8\, dt=-\frac{t^9}{9}+C=-\frac{(1-x^3)^9}{9}+C\\\\2)\quad \int \frac{3-2x}{5x^2+7}dx=\frac{3}{5}\int \frac{dx}{x^2+\frac{7}{5}}-\frac{1}{5}\int \frac{10x}{5x^2+7}dx=\\\\=[\, t=5x^2+7,\; dt=10x\, dx]=\\\\=\frac{3}{5}\cdot \sqrt{\frac{5}{7}}\cdot arctg\frac{\sqrt5x}{\sqrt7}-\frac{1}{5}\int \frac{dt}{t}=\frac{3}{\sqrt{35}}\cdot arctg(\sqrt{\frac{5}{7}}x)-\frac{1}{5}\cdot ln|t|+C=$

$=\frac{3}{\sqrt{35}}\cdot arctg\left (\sqrt{\frac{5}{7}}x\right )-\frac{1}{4}ln|5x^2+7|+C$

$3)\quad \int sin^32x\cdot cos 2x\, dx=[\, t=sin2x,\; dt=2cos2x\, dx\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \int t^3\, dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^4}{4}+C=\frac{1}{8}\cdot sin^42x+C\\\\4)\quad \int sin^3x\cdot cos^2x\, dx=\int sin^2x\cdot cos^2x\cdot sinx\, dx=\\\\=\int (1-cos^2x)cos^2x\cdot sinx\, dx=[\, t=cosx,\; dt=-sinx\, dx\, ]=\\\\=-\int (1-t^2)t^2\, dt=-\int (t^2-t^4)dt=-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}+C=\\\\=-\frac{cos^3x}{3}+\frac{cos^5x}{4}+C$