1.
а) 2sin²x=1-cosx
2(1-cos²x)=1-cosx
2-2cos²x=1-cosx
-2cos²x+cosx+1=0
2cos²x-cosx-1=0
Пусть cosx=y
2y²-y-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
y₁=<u>1-3</u>=<u>-1 </u>
4 2
y₂=<u>4 </u>=1
4
cosx=<u>-1 </u>
2
x=<u>+</u> arccos(-¹/₂)+2πn
arccos(-¹/₂)=π-arccos¹/₂=π-<u>π </u>=<u>2π</u>
3 3
x=<u>+</u> <u>2π</u> + 2πn
3
cosx=1
x=2πn
Ответ: х₁=<u>+</u><u> 2π </u>+2πn
3
x₂=2πn
б) 5sin²x-5sinxcosx+2 cos²x=1
Представим 1=sin²x+cos²x и поделим все на cos²x:
<u>5sin²x</u> - <u>5sinxcosx </u>+ <u>2cos²x</u>=<u>sin²x </u>+ <u>cos²x</u>
cos²x cosx cosx cos²x cos²x cos²x
5tg²x-5tgx+2=tg²x+1
5tg²x-tg²x-5tgx+2-1=0
4tg²x-5tgx+1=0
Пусть tgx=y
4y²-5y+1=0
D=25-4*4=9
y₁=<u>5-3</u>=<u> 1 </u>
8 4
y₂=<u>5+3</u>=1
8
tgx=<u>1 </u>
4
x=arctg¹/₄+πn
tgx=1
x=arctg1+πn
x=<u>π </u>+ πn
4
Ответ: х₁=arctg ¹/₄ +πn
x₂=<u>π </u>+πn
4
в) cosx+sinx-cos3x=0
cosx-cos3x+sinx=0
-2sin <u>x+3x</u> sin <u>x-3x</u> + sinx=0
2 2
-2sin2x sin(-x) + sinx=0
2sin2x sinx+sinx=0
sinx(2sin2x+1)=0
sinx=0 2sin2x+1=0
x=πn 2sin2x=-1
sin2x=-¹/₂
2x=(-1)^n * arcsin(-¹/₂) +πn
2x=(-1)^(n+1)*arcsin¹/₂ +πn
2x=(-1)^(n+1)*<u>π </u>+ πn
6
x=(-1)^(n+1) *<u>π </u>+ <u>πn</u>
12 2
Ответ: х₁=πn
x₂=(-1)^(n+1) * <u>π </u>+ <u>πn</u>
12 2
г) cosx+√3 sinx=0
Делим на cosx:
<u> cosx</u> + √3<u> sinx</u>=0
cosx cosx
1+√3 tgx=0
√3 tgx=-1
tgx=<u>-1 </u>
√3
tgx=<u>-√3</u>
3
x=arctg<u>(-√3</u>)+πn
3
x=-arctg <u>√3</u> +πn
3
x=<u>-π</u> + πn
6
Ответ: х= <u>-π </u>+πn
6
д) cosx+sinx=√2
Делим на cosx:
<u> cosx </u>+<u> sinx </u>=<u> √2 </u>
cosx cosx cosx
<em> </em><em />1+tgx =<u> √2 </u>
cosx
Применяем формулу:
1+tg²x= <u> 1 </u>
cos²x
<u> 1 </u>=√(1+tg²x)
cosx
Получаем:
1+tgx=√2 *√(1+tg²x)
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(1+tgx)²=(√2)² * (√(1+tg²x))²
1+2tgx+tg²x=2(1+tg²x)
1+2tgx+tg²x=2+2tg²x
tg²x-2tg²x+2tgx+1-2=0
-tg²x+2tgx-1=0
tg²x-2tgx+1=0
(tgx-1)²=0
tgx-1=0
tgx=1
x= arctg 1 +πn
x=<u>π </u>+ πn
4
Ответ: х=<u>π </u>+πn
4
(16-х^2)=0 или корень(3-х)= 0
Х верхнее основание
3х нижнее
(х+3х):2 средняя линия
(х+3х)/2=20
4х=40
х=10 см верхнее
10*3=30см нижнее
