В основании прямого параллелепипеда- параллелограмм АВCD.
Боковые ребра АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ перпендикулярны плоскости АВСD.
Плоскость А₁СВ пересекает грань АА₁В₁В по прямой А₁В,
Так как грани АА₁В₁В и СС₁D₁D параллельны, то плоскость А₁СВ пересекает грань СС₁D₁D по прямой СD₁, параллельной А₁B.
Найдем линейный угол двугранного угла между плоскостью А₁ВСD₁ и плоскостью АВСD: проведем
![AK\perp BC](https://tex.z-dn.net/?f=AK%5Cperp+BC)
.
Треугольник А₁АК- прямоугольный.
![\angle A _{1} KA=90 ^{o}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+A+_%7B1%7D+KA%3D90+%5E%7Bo%7D+)
так как прямая АА₁ перпендикулярна плоскости АВСD, значит АА₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой АК.
Значит, А₁К-наклонная, АК-проекция наклонной на плоскость АВСD.
По теореме о трех перпендикулярах
![A _{1}K\perp BC](https://tex.z-dn.net/?f=A+_%7B1%7DK%5Cperp+BC+)
Угол А₁KА - линейный угол двугранного угла.
![\angle A _{1}KA=60 ^{o}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+A+_%7B1%7DKA%3D60+%5E%7Bo%7D++)
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК:
![\angle AKB=90 ^{o}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+AKB%3D90+%5E%7Bo%7D+)
АВ=CD=2√3.
Угол АВК равен углу АDС.
![\angle ABK=60 ^{o}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+ABK%3D60+%5E%7Bo%7D+)
, тогда
![\angle BAK=30 ^{o}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+BAK%3D30+%5E%7Bo%7D+)
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит ВК=√3. По теореме Пифагора АК=√((2√3)²-(√3)²)=√(12-3)=√9=3
Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁АК:
![\angle A _{1}KA=60 ^{o}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+A+_%7B1%7DKA%3D60+%5E%7Bo%7D++)
,
![\angle KA _{1} A=30 ^{o}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cangle+KA+_%7B1%7D+A%3D30+%5E%7Bo%7D+)
АК=3.
Катет АК равен половине гипотенузы А₁К, значит гипотенуза А₁К=6.
По теореме Пифагора А₁А=√А₁К²-АК²=√(6²-3²)=√(36-9)=√27=3√3
Ответ. Высота параллелепипеда равна 3√3.