Question

Докажите,что х⁴+2х²+2 _______ ≥ 2 х²+1 при всех действительных значениях х.

Answer 1

$\displaystyle \frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1} \geq 2$

$\displaystyle \frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1} \geq \frac{2(x^2+1)}{(x^2+1)}$

$\displaystyle \frac{x^4+2x^2+2-2x^2-2}{x^2+1} \geq 0$

$\displaystyle \frac{x^4}{x^2+1} \geq 0$

т.к. в числителе $\displaystyle x^4$ и он при любых х больше нуля

т.к. в знаменателе $x^2+1$ и он при любых х больше нуля, и при этом не обращается в ноль ни при каких х. ( а значит область определение все числа)

Значит дробь будет больше нуля.

Проверим равенство 0: 
Это возможно при х=0

Значит данная дробь будет больше либо равно нуля при любом х