Question

Докажите, функция f(x) является возрастающей
$y=\frac{x-1}{x+1}$

По алгоритму
1)Область определения
2)Производная функции
3)Решить неравенство $f'(x)\ \textgreater \ 0$
4)Найти промежутки возрастания и убывания

Answer 1

$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}$

1) На 0 делить нельзя, область определения:

$x+1\neq 0\\x\neq-1\\\boxed{x\in(-\infty;-1)\text{U}(-1;+\infty)}$

$\displaystyle 2)\quad f'(x)=\frac{(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\\\\\\=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\boxed{\frac{2}{(x+1)^2}}$

$\displaystyle 3)\quad \frac{2}{(x+1)^2}>0\\\\\underline{\quad\quad+\quad\quad-1\quad\quad+\quad\quad}\\\\\boxed{x\in(-\infty;-1)\text{U}(-1;+\infty)}$

4) Промежутки возрастания функции: $\boxed{x\in(-\infty;-1)\text{U}(-1;+\infty)}$

Промежутков убывания нет.

Функция возрастает на всей области определения, следовательно является возрастающей. (Доказано)