Question

Помогите решить уравнения и неравенства , срочненько надо (

Answer 1

$1) \ log_2log_3log_4 x = 0\\\\ log_2log_3log_4 x = log_2 1\\\\ log_3log_4 x = 1\\\\ log_3log_4 x = log_3 3\\\\ log_4 x = 3\\\\ log_4 x = log_4 64\\\\ \fbox{x = 64}$

 

$2) \ log_7\sqrt{x-6} - \frac{1}{2}log_7(x-3) = log_7 0.5\\\\ log_7(x-6)^{\frac{1}{2}} - log_7(x-3)^{\frac{1}{2}} = log_7 0.5\\\\ log_7(\frac{x-6}{x-3})^{\frac{1}{2}} = log_7 0.5\\\\ (\frac{x-6}{x-3})^{\frac{1}{2}} = 0.5\\\\ \frac{x-6}{x-3} = 0.25\\\\ \frac{x-6}{x-3} =\frac{1}{4}\\\\ 4x - 24 = x - 3\\\\ 3x = 21\\\\ \fbox{x = 7}$

 

$3) \ log_2 x + log_4x + log_{16}x = 14\\\\ log_2 x + log_{2^2}x + log_{2^4}x = 14\\\\ log_2 x + \frac{1}{2}log_2 x + \frac{1}{4}log_2 x = 14\\\\ (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) log_2 x = 14\\\\ \frac{7}{4}log_2 x = 14\\\\ log_2 x = 8\\\\ log_2 x = log_2 256\\\\ \fbox{x = 256}$

 

$4) \ lg^2 x + lg x^2 = lg^2 2 - 1\\\\ lg^2 x + 2lg x = lg^2 2 - 1\\\\ lg x (lg x + 2) = (lg 2 - 1)(lg 2 + 1)\\\\ lg x = t$

 

$t(t+2) = (lg 2 - 1)(lg 2 + 1)\\\\ t^2 + 2t - (lg 2 - 1)(lg 2 + 1)= 0\\\\ t_1*t_2 = -(lg 2 - 1)(lg 2 + 1) = (lg 2 - 1)(-lg 2 - 1)\\\\ t_1 + t_2 = -2 = lg 2 - 1 - lg 2 - 1\\\\ t_1 = lg 2 - 1\\\\ t_2 = -lg 2 - 1\\\\ 1) \ lg x = -lg 2 - 1\\\\ lg x + lg 2 = -1\\\\ lg 2x = lg \frac{1}{10}\\\\ 2x = \frac{1}{10}\\\\ \underline{x = \frac{1}{20}}\\\\ 2) \ lg x = lg 2 - 1\\\\ lg x - lg 2 = -1\\\\ lg \frac{x}{2} = lg \frac{1}{10}\\\\ \frac{x}{2} = \frac{1}{10}\\\\ \underline{x = \frac{1}{5}}$

 

$5) \ log_x (x^2 + 1) > 2\\\\ x > 0, x \ne 1\\\\ log_x (x^2 + 1) > log_x x^2\\\\ log_{k(x)} f(x) > log_{k(x)} g(x) \Rightarrow (f(x) - g(x)) * (k(x) - 1) > 0\\\\ (x^2 + 1 - x^2)(x - 1) > 0\\\\ x - 1 > 0\\\\ \underline{x > 1}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

ОДЗ:  { х>0 , log₄x>0, log₃log₄x>0 }

   0=log₂1  ⇒   log₂log₃log₄x=log₂1

                                 log₃log₄x=1  ,  1=log₃3  ⇒

                                         log₄x=3 ,  x=4³=64

2)  log₄x=1/2 *log₂x  ,  log₁₆x=1/4 *log₂x       ОДЗ:х>0

   log₂x+1/2 *log₂x+1/4 *log₂x= 7/4 *log₂x

   7/4 *log₂x=14

           log₂x=14:7/4=8

                   x=2⁸=256

3)   log(x²+1)>2 Основание log равно x  ⇒  ОДЗ: х≠1, х>0

     а) 0<х<1     2=logx² (по основ х)

         x²+1<x²   

              1<0  неверное неравенство

     б)  х>1

          х²+1>х²

               1>0  верное неравенство

Ответ: х>1  

 4)  ОДЗ: х>0 ,    lgx²= 2lg|x| =2lgx ( так как х>0 )

      lg²x+2lgx-(lg²2-1)=0

 t=lgx  , t²+2t-(lg²2-1)=0

              D=4+4(lg²2-1)=4(1+lg²2-1)=4lg²2

  t₁= (-2-2lg²2) /2 =-1-lg2

  t₂=-1+lg2

lgx= -1-lg2  ,  lgx+lg2=-1  ( -1=lg1/10 ) , lg(2x)=lg(1/10) , 2x=1/10 , x=1/20

lgx=-1+lg2 , lgx-lg2=-1 , lg(x/2)=lg(1/10) , x/2=1/10 , x=2/10=1/5

Ответ: х=1/20 , х=1/5.